课时达标检测(7) 等差数列前n项和的性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

课时达标检测(七)　等差数列前n项和的性质 学生用书P075 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.若数列{an}的前n项和Sn=n2-1,则a4= (A) A.7 B.8 C.9 D.17 解析　a4=S4-S3=(42-1)-(32-1)=7。 2.在等差数列{an}和{bn}中,a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列{an+bn}的前100项的和为 (A) A.10 000 B.8 000 C.9 000 D.11 000 解析　由已知得{an+bn}为等差数列,故其前100项的和为S100==50×(25+75+100)=10 000。 3.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是 (D) A.2 B.3 C.4 D.5 解析　====7+。所以n=1,2,3,5,11。 4.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是 (B) A.-2 B.-1 C.0 D.1 解析　因为等差数列前n项和Sn的形式为Sn=An2+Bn,所以λ=-1。 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S14>0,S15<0,则n取何值时Sn最大 (C) A.5 B.6 C.7 D.8 解析　已知等差数列{an}的前n项和为Sn,因为S14==>0,S15==14a8<0,所以a7+a8>0,a8<0,所以a7>0,a8<0,所以n=7时,Sn最大。故选C。 6.在等差数列{an}中,Sn为其前n项和。若S2 023=2 023,且-=2 000,则a1等于 (C) A.-2 023 B.-2 022 C.-2 021 D.-2 020 解析　因为{an}是等差数列,Sn为其前n项和,设公差为d,Sn=na1+(n-1)d,所以=a1+(n-1)·,所以-=,所以数列是以a1为首项,以为公差的等差数列,则-=a1+(2 023-1)·-=1 000d=2 000,解得d=2。又因为S2 023=2 023,所以==1=a1+(2 023-1)×,所以a1=-2 021。故选C。 二、多项选择题 7.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,(n+1)Sn=(6n+18)Tn。若∈Z,则n的可能取值为 (ABC) A.1 B.2 C.3 D.5 解析　因为(n+1)Sn=(6n+18)Tn⇒=,所以=====6+,因为∈Z,所以n∈{1,2,3,6}。故选ABC。 8.数列{an}满足an+1+an=11-n+(-1)n,且0<a6<1。记数列{an}的前n项和为Sn,则当Sn取最大值时n为 (AC) A.11 B.12 C.13 D.14 解析　由题意,当n为奇数时, an+1+an=11-n+(-1)n,an+2+an+1=11-(n+1)+(-1)n+1。故an+2-an=[11-(n+1)+(-1)n+1]-[11-n+(-1)n]=-1-2·(-1)n=1。故奇数项为公差为1的等差数列。同理当n为偶数时, an+2-an=-1-2·(-1)n=-3。故偶数项为公差为-3的等差数列。a4-a2=-3　①,a6-a4=-3　②,②+①得a6-a2=-6,即a6=a2-6,又0<a6<1即0<a2-6<1⇒6<a2<7。又a2+a1=11-1+(-1)1=9。所以2<a1<3。综上可知,奇数项均为正数,偶数项随着n的增大由正变负,故当Sn取最大值时n为奇数。故n为奇数且此时有⇒解得11≤n≤13。故n=11或n=13。故选AC。 三、填空题 9.数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1(n∈N+),则它的通项公式是 an= 。  解析　当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2,不符合上式,所以an= 10.一个等差数列共有10项,其偶数项之和是15,奇数项之和是,则它的首项与公差分别是a1=  ,d=  。  解析　S偶-S奇=5d=15-=,所以d=。由10a1+×=15+=,得a1=。 11.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则k等于 8 。  解析　解法一:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10,当n=1时,a1=S1=1-9=-8,满足上式,所以an=2n-10。令5<2n-10<8,解得7.5<n<9,因为n∈N+,所以n=8,即k=8。 解法二:由已知Sn=n2-9n可知{an}为等差数列,则an==2n-10,令5<2n-10<8,解得7.5<n<9,因为n∈N+