6.3 利用导数解决实际问题-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

6.3　利用导数解决实际问题 ( 　　 科学家在健康志愿者和严重直立性低血压患者两组实验中研究了米多君的药代动力学。健康志愿者口服米多君迅速并几乎完全吸收。然后 , 药品在各种组织中 ( 包括消化道、肝脏、循环系统 ) 经酶解广泛代谢成其药理活性代谢物脱甘氨酸米多君。如图是随时间变化 , 血液中米多君浓度变化曲线 , 问何时药的浓度达峰值 ? 1 . 会利用导数解决实际问题中的最优化问题 ; 2 . 体会导数在解决实际问题中的作用。 ) 知识点一、最优化问题 在生活中,人们经常会遇到最优化的问题。例如,在铺设管道或者公路时,怎样使得花费最少?在制作容器时,怎样使得用料最少?经济活动中,怎样使得经营成本最小?等等。这些问题都需要寻求相应的最佳方案或最佳策略,因此数学上都称为最优化问题。因为利用导数可以求得最值,所以可以利用导数来求解最优化问题。 知识点二、利用导数解决生活中最优化问题的步骤 1.分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x)。 2.求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0。 3.比较函数在区间端点和在f'(x)=0的点处的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值。 微思考 　　解决生活中最优化问题时应注意什么? 提示:(1)写出变量之间的函数关系y=f(x)后一定要写出定义域。 (2)求实际问题的最值,一定要从问题的实际意义去分析,不符合实际意义的极值点应舍去。 (3)在实际问题中,一般地,f'(x)=0在x的取值范围内仅有一个解,即函数y=f(x)只有一个极值点,则该点处的函数值就是问题中所指的最值。 类型一 利润最大问题 　　【例1】　某工厂共有10台机器,生产一种仪器元件,由于受生产能力和技术水平等因素限制,会产生一定数量的次品。根据经验知道,每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4≤x≤12)之间满足关系:P=0.1x2-3.2ln x+3。已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每产生1万件次品将亏损1万元。(利润=盈利-亏损) (1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数; (2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大,最大利润为多少? 解　(1)由题意得,所获得的利润为y=10[2(x-P)-P]=20x-3x2+96ln x-90(4≤x≤12)。 (2)由(1)知,y'==,当4≤x<6时,y'>0,函数在[4,6)上为增函数;当6<x≤12时,y'<0,函数在(6,12]上为减函数,所以当x=6时,函数取得极大值,且为最大值,最大利润为20×6-3×62+96ln 6-90=96ln 6-78(万元)。所以当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大,最大利润为(96ln 6-78)万元。 　　利润最大问题是生活中常见的一类问题,一般根据“利润=收入-成本”建立函数关系式,再利用导数求最大值。解决此类问题需注意两点:①价格要大于或等于成本,否则就会亏本;②销量要大于0,否则不会获利。 【变式训练】　已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 (C) A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件 解析　令y'=-x2+81>0,解得-9<x<9,又x>0,所以0<x<9;令y'=-x2+81<0,解得x>9。所以函数y=-x3+81x-234在区间(0,9)上是增函数,在区间(9,+∞)上是减函数,所以y在x=9处取得极大值,也是最大值。故选C。 类型二 成本最省问题 　　【例2】　如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200 m2的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16 m,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖)。 　　(1)试写出总造价y(单位:元)与污水处理池长x(单位:m)的函数关系式,并指出其定义域; (2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?求出最低总造价。 解　(1)设长为x m,则宽为 m。据题意得解得≤x≤16,y=2x+2·×400+×248+16 000=800x++16 000≤x≤16。 (2)令y'=800-=0,解得x=18。当x∈(0,18)时,函数y为减函数;当x∈(18,+∞)时,函数y为增函数。又因为≤x≤16,所以当x=16时,ymin=45 000。所以当且仅当长为16 m、宽为12.5 m时,总造价最低,为45 000元。 　　利用导数解决实际问题,当遇