6.2.2 第2课时 导数与函数的最值-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第2课时　导数与函数的最值 ( 　　 在社会生活实践中 , 为了发挥最大的经济效益 , 常常遇到如何能使用料最省、产量最高、效益最大等问题 , 这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题 , 他们与函数极值关系如何 ? 这就是本节课我们所要学习的内容。 1 . 了解函数最值的有关概念 ; 2 . 会用函数的导数求函数的最值。 ) 知识点一、函数最值的定义 如果在函数f(x)的定义域I内存在一点x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≤f(x0),那么称f(x0)为函数在定义域上的最大值。 如果在函数f(x)的定义域I内存在一点x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≥f(x0),那么称f(x0)为函数在定义域上的最小值。 知识点二、求可导函数y=f(x)在[a,b]上的最值的步骤 1.求f(x)在开区间(a,b)内所有使f'(x)=0的点。 2.计算函数f(x)在区间内使f'(x)=0的所有点和端点的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。 微提醒 　　对函数最值的三点说明。 (1)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的连续函数不一定有最值。若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值。 (2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念。 (3)函数y=f(x)在[a,b]上连续,是函数y=f(x)在[a,b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件。 类型一 求函数的最值 　　【例1】　(1)求函数f(x)=x3-2x2+1在区间[-1,2]上的最值。 解　f'(x)=3x2-4x,令f'(x)=0,有3x2-4x=0,解得x=0或x=。当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表: x -1 (-1,0) 0 0, ,2 2 f'(x) + 0 - 0 + f(x) -2 ↗ 1 ↘ - ↗ 1 故f(x)=x3-2x2+1在区间[-1,2]上的最大值为1,最小值为-2。 (2)求函数f(x)=x+2cos x在区间0,上的最大值。 解　因为f'(x)=1-2sinx,令f'(x)=0,因为x∈0,,所以x=。当x∈0,时,f'(x)>0,当x∈,时,f'(x)<0,所以当x=时,函数f(x)取得极大值,也是最大值。即f(x)max=f=+。 　　求函数最值的步骤 第一步,求函数的定义域; 第二步,求f'(x),解方程f'(x)=0; 第三步,列出关于x,f(x),f'(x)的变化表; 第四步,求极值、端点值,确定最值。 【变式训练】　函数f(x)=x2-ln x的最小值为 (A) A. B.1 C.0 D.不存在 解析　f'(x)=x-=,且x>0。令f'(x)>0,得x>1;令f'(x)<0,得0<x<1。所以f(x)在x=1处取得极小值也是最小值,且f(1)=-ln 1=。 类型二 含参数的最值问题 　　【例2】　已知函数f(x)=x3-ax2-a2x。 (1)求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值; (2)若a>0,求函数f(x)在区间[-a,2a]上的最值。 解　(1)f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a),令f'(x)=0,得x1=-,x2=a。 ①当a>0时,f(x)在[0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增。所以f(x)min=f(a)=-a3。 ②当a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0。 ③当a<0时,f(x)在0,-上单调递减,在-,+∞上单调递增,所以f(x)min=f-=a3。综上所述,当a>0时,f(x)min=-a3;当a=0时,f(x)min=0;当a<0时,f(x)min=a3。 (2)f'(x)=(3x+a)(x-a)(a>0),令f'(x)=0,得x1=-<x2=a。所以f(x)在-a,-上单调递增,在-,a上单调递减,在[a,2a]上单调递增。又f(-a)=-a3,f-=a3,f(a)=-a3,f(2a)=2a3,所以f(x)max=f(2a)=2a3,f(x)min=f(-a)=f(a)=-a3。 　　利用函数的最值确定参数的值或取值范围的解题步骤 (1)求导数f'(x),并求极值; (2)利用单调性,将极值与端点处的函数值进行比较,确定函数的最值。若参数的变化影响着函数的单调性,要对参数进行分类讨论; (3)利用最值列关于参数的方程(组),解方程(组)即可。 【变式训练】　函数f(x)=-x3+x在(a,10-a2)上有最大值,则实数a的取值范围是 [-2,1) 。  解析　由f'(x)=-x2+1,易知f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,在[-1,1]上单调递增。故函数f(x