6.2.2 第1课时 导数与函数的极值-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

6.2.2　导数与函数的极值、最值 第1课时　导数与函数的极值 ( 　　 “横看成岭侧成峰 , 远近高低各不同” , 如图是某处群山的截面图 , 你能指出山峰、山谷吗 ? 　　 显然 , 在 x 1 , x 3 , x 5 处是山峰 , 在 x 2 , x 4 处是山谷。这就是今天我们所要学习的函数的极值。 1 . 理解函数极值、极值点的有关概念 , 掌握利用导数求函数极值的方法 ; 2 . 注意结合函数的图像理解用导数求函数极值的方法 , 培养用数形结合的思想方法去分析问题和解决问题的思维习惯。 ) 知识点一、函数极值点与极值的定义 1.一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有 (1)f(x)<f(x0), 则称x0为函数f(x)的一个极大值点,且f(x)在x0处取极大值。 (2)f(x)>f(x0), 则称x0为函数f(x)的一个极小值点,且f(x)在x0处取极小值。 2.极大值点与极小值点都称为极值点,极大值与极小值都称为极值。 3.如果x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则必有f'(x0)=0。 知识点二、函数的单调性与极值 一般地,设函数f(x)在x0处可导,且f'(x0)=0。 1.如果对于x0左侧附近的任意x,都有f'(x)>0;对于x0右侧附近的任意x,都有f'(x)<0,那么此时x0是f(x)的极大值点。 2.如果对于x0左侧附近的任意x,都有f'(x)<0;对于x0右侧附近的任意x,都有f'(x)>0,那么此时x0是f(x)的极小值点。 3.如果f'(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号),则x0一定不是y=f(x)的极值点。 微提醒 　　关于极值的两点说明。 (1)函数的极值是一个局部性的概念,是仅对某一点的左右两侧区域而言的。极值点是区间内部的点而不会是端点。 (2)若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在该区间内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值。 微思考 　　导数不存在的点是否就一定不是极值点? 提示:函数的导数不存在的点也可能是极值点。如函数f(x)=|x|,在x=0处,左侧f'(x)=-1<0,右侧f'(x)=1>0,即函数在x=0处不可导,即f'(0)不存在,但x=0是函数的极小值点。 类型一 求函数的极值 　　【例1】　求下列函数的极值。 (1)y=2x3+6x2-18x+3; (2)y=2x+。 解　(1)函数的定义域为R,y'=6x2+12x-18=6(x+3)(x-1),令y'=0,得x=-3或x=1。当x变化时,y',y的变化情况如表: x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞) y' + 0 - 0 + y ↗ 极大 值57 ↘ 极小 值-7 ↗ 从表中可以看出,当x=-3时,函数取得极大值,且y极大值=57。当x=1时,函数取得极小值,且y极小值=-7。 (2)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),y'=2-=21-=(x-2)(x+2),令y'=0,得x=-2或x=2。当x<-2时,y'>0;当-2<x<0时,y'<0。故x=-2时,y取得极大值,且极大值为-8。当0<x<2时,y'<0;当x>2时,y'>0。故x=2时,y取得极小值,且极小值为8。 　　求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域,求导数f'(x); (2)求f(x)的拐点,即求方程f'(x)=0的根; (3)利用f'(x)与f(x)随x的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值。 【变式训练】　设三次函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=x·f'(x)的图像的一部分如图所示,则 (D) A.f(x)极大值为f(),极小值为f(-) B.f(x)极大值为f(-),极小值为f() C.f(x)极大值为f(-3),极小值为f(3) D.f(x)极大值为f(3),极小值为f(-3) 解析　由函数y=x·f'(x)的图像可知,当x<-3时,y=xf'(x)>0,所以f'(x)<0;当-3<x<0时,y=xf'(x)<0,所以f'(x)>0,所以极小值为f(-3)。当0<x<3时,y=xf'(x)>0,所以f'(x)>0;当x>3时,y=xf'(x)<0,所以f'(x)<0,所以极大值为f(3)。 类型二 已知极值求参数 　　【例2】　已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,求a,b的值。 解　因为f'(x)=3x2+6ax+b,且函数f(x)在x=-1处有极值0,所以即解得或当a=1,b=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,此时函数f(x)在R上为增函数,无极值