6.2.1 导数与函数的单调性-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

6.2　利用导数研究函数的性质 6.2.1　导数与函数的单调性 ( 　　 研究股票时 , 我们最关心的是股票曲线的发展趋势 ( 走高或走低 ), 以及股票价格的变化范围 ( 封顶或保底 ) 。从股票走势曲线图来看 , 股票有升有降。我们知道 , 股票走势曲线的变化趋势可以看作函数曲线的单调性 , 能否用导数研究函数的单调性呢 ? 1 . 理解在某区间上函数的单调性与导数的关系 ; 2 . 能够利用导数求函数的单调区间。 ) 知识点、用函数的导数判定函数单调性 1.如果在区间(a,b)内,f'(x)>0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0,曲线呈上升状态,因此f(x)在(a,b)上是增函数,如图①所示。 ①　　② 2.如果在区间(a,b)内,f'(x)<0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0,曲线呈下降状态,因此f(x)在(a,b)上是减函数,如图②所示。 微提醒 　　利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题。 (1)定义域优先的原则:解决问题的过程只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间。 (2)注意“间断点”:在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的间断点。 (3)单调区间的表示:如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开。 类型一 利用导数求函数的单调区间 　　【例1】　求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x2-ln x; (2)f(x)=; (3)f(x)=x3+。 解　(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)。f'(x)=2x-=。因为x>0,所以x+1>0,令f'(x)>0,解得x>,所以函数f(x)的单调递增区间为,+∞;令f'(x)<0,解得x<,又x∈(0,+∞),所以函数f(x)的单调递减区间为0,。 (2)函数f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞)。f'(x)==。因为x∈(-∞,2)∪(2,+∞),所以ex>0,(x-2)2>0。令f'(x)>0,解得x>3,所以函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞);令f'(x)<0,解得x<3,又x∈(-∞,2)∪(2,+∞),所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,2)和(2,3)。 (3)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)。f'(x)=3x2-=3x2-。令f'(x)>0,解得x<-1或x>1。令f'(x)<0,解得-1<x<1,且x≠0。所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞);单调递减区间为(-1,0),(0,1)。 　　求可导函数单调区间的一般步骤 【变式训练】　函数f(x)=x2ln x的单调递减区间为 (D) A.(0,) B.,+∞ C.-∞, D.0, 解析　函数的定义域为(0,+∞),由题意得f'(x)=2xln x+x=x(2ln x+1),令f'(x)<0,解得0<x<,所以函数的单调递减区间为0,。 类型二 利用函数的单调性求参数的取值范围 　　【例2】　已知函数f(x)=2ax-在(0,1]上是增函数,求a的取值范围。 解　由题意,得f'(x)=2a+。因为f(x)在(0,1]上是增函数,所以f'(x)≥0在(0,1]上恒成立。即a≥-在(0,1]上恒成立。令g(x)=-,因为g(x)=-在(0,1]上是增函数,所以g(x)max=g(1)=-1,所以a≥-1,故a的取值范围是[-1,+∞)。 　　由函数的单调性求参数的值或取值范围的方法 由函数的单调性求参数的值或取值范围经常涉及两类题。 (1)已知含参函数y=f(x)在给定区间I上递增(减),求参数范围。求解方法一:不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间I上恒成立。求解方法二:求得递增(减)区间A,利用I与A的关系求解。 (2)已知函数y=f(x)在含参区间I上递增(减),求参数范围。求解方法:主要利用(1)中的方法二。 【变式训练】　若f(x)=x3+ax2+(a+3)x+b在R上不是单调函数,则实数a的取值范围是 (D) A.-2≤a≤6 B.a≤-2或a≥6 C.-2<a<6 D.a<-2或a>6 解析　f'(x)=x2+ax+a+3。因为函数f(x)在R上不是单调函数,所以在R上f'(x)≥0不恒成立,所以在R上f'(x)=0有两个不等的实根,所以Δ=a2-4(a+3)>0,解得a>6或a<-2。 明易错·误区警示 忽视定义域的限制作用致误 　　【典例】　求函数f(x)=2x2-ln x的单调递减区间。 【易错解法】　f'(x)=4x-=,令<0,得x<-或0<x<。故函数f(x)的单调递减