6.1.4 求导法则及其应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

6.1.4　求导法则及其应用 ( 　　 由导函数的定义可知 , 一个函数的导数是唯一确定的。在必修第一册中我们学过基本初等函数 , 并且知道 , 很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的。由此自然想到 , 能否由基本初等函数的导数 , 研究出导数的“运算法则” , 这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数。本节我们就来研究这些问题。 1 . 能运用基本初等函数导数公式和求导法则求简单函数的导数 ; 2 . 理解并掌握简单复合函数的求导法则。 ) 知识点一、函数的求导法则 法则 语言叙述 [f(x)+g(x)]'= f'(x)+g'(x) 两个函数之和的导数,等于这两个函数的导数之和 [f(x)-g(x)]'= f'(x)-g'(x) 两个函数之差的导数,等于这两个函数的导数之差 [f(x)g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 两个函数之积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数 '= (g(x)≠0) 两个函数的商的导数,等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数,再除以分母的平方 　特别地,[Cf(x)]'=Cf'(x)。即常数与函数之积的导数,等于常数乘以函数的导数。 知识点二、简单复合函数的求导法则 1.复合函数的概念。 一般地,已知函数y=f(u)与u=g(x),给定x的任意一个值,就能确定u的值,如果此时还能确定y的值,则y可以看成x的函数,此时称f(g(x))有意义,且称y=h(x)=f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数,其中u称为中间变量。 2.复合函数的求导法则。 如果函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数为y=h(x)=f(g(x)),则复合函数的导数h'(x)与f'(u),g'(x)之间的关系为h'(x)=[f(g(x))]'=f'(u)g'(x)=f'(g(x))g'(x)。也可以表示为y'x=y'uu'x。 微提醒 　　对于复合函数的求导应注意以下几点。 (1)分清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的,适当选定中间变量。 (2)分步求导的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的,而其中要特别注意的是中间变量的导数。 (3)根据基本初等函数的导数公式及函数的求导法则求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数。如求y=sin2x+的导数,设y=sin u,u=2x+,则y'x=y'uu'x=cos u×2=2cos2x+。 微思考 　　在导数的运算法则中,f(x),g(x)是否能是常数函数? 提示:能。例如,①若y=f(x)±c,则y'=f'(x);②若y=af(x),则y'=af'(x);③'=(f(x)≠0)。 类型一 函数求导法则的应用 　　【例1】　求下列函数的导数: (1)y=x4+3x3-2x-5; (2)y=xlog3x; (3)y=; (4)y=x-sincos。 解　(1)y'=(x4+3x3-2x-5)'=(x4)'+(3x3)'-(2x)'-5'=4x3+9x2-2。 (2)y'=(xlog3x)'=x'log3x+x(log3x)'=log3x+=log3x+。 (3)y'='==。 (4)先化简原式y=x-sin cos=x-sin x,故y'=x-sin x'=x'-(sin x)'=1-cos x。 　　对一个函数求导时,要紧扣函数的求导法则,联系基本初等函数的导数公式,当不易直接应用导数公式时,应先对函数进行化简(恒等变形),然后求导,这样可以减少运算,优化解题过程。 【变式训练】　若函数f(x)=x3-f'(1)x2+x+5,则f'(1)的值为 (D) A.-2 B.2 C.- D. 解析　由已知得f'(x)=x2-2f'(1)x+1,则f'(1)=1-2f'(1)+1,故f'(1)=。 类型二 复合函数求导法则的应用 　　【例2】　求下列函数的导数: (1)y=sin(2x+1); (2)y=; (3)y=102x+3。 解　(1)函数y=sin(2x+1)可以看作函数y=sin u和u=2x+1的复合函数,根据复合函数的求导法则有y'x=y'uu'x=(sin u)'(2x+1)'=2cos u=2cos(2x+1)。 (2)函数y=可以看作函数y=和u=3x+5的复合函数,根据复合函数的求导法则有y'x=y'uu'x=()'·(3x+5)'==。 (3)原函数可看作y=10u,u=2x+3的复合函数,则y'x=y'uu'x=102x+3·ln 10·2=2·102x+3·ln 10。 　　求复合函数的导数的步骤 【变式训练】　设y=+(a是常数),则y'等于 (D) A.+ 　　B. C.-