6.1.3 基本初等函数的导数-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

6.1.3　基本初等函数的导数 　　 高铁是一种非常受欢迎的交通工具,既低碳又快捷。设一高铁走过的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为s=f(t)=2t2,求它的瞬时速度,即求f(t)的导数。根据导数的定义,就是求当Δt→0时,所趋近的那个定值,运算比较复杂,而且有的函数(如y=sin x,y=ln x等)很难运用定义求导数,为此我们需要引入基本初等函数的导数公式。 1.理解导函数的定义; 2.掌握基本初等函数的导数公式,并能利用这些公式求基本初等函数的导数。 　 知识点一、常数函数与幂函数的导数 1.导数定义:一般地,如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点x都可导,则称f(x)可导。对定义域内的每一个值x,都对应一个确定的导数f'(x)。通常称f'(x)为函数y=f(x)的导函数(简称导数),记作f'(x)(或y',y'x),即f'(x)=y'=y'x=。 2.几个常用函数的导数。 (1)若f(x)=C(C是常数),则f'(x)=0。 (2)若f(x)=x,则f'(x)=1。 (3)若f(x)=x2,则f'(x)=2x。 (4)若f(x)=x3,则f'(x)=3x2。 (5)若f(x)=,则f'(x)=-=-x-2(x≠0)。 (6)若f(x)=,则f'(x)==(x>0)。 知识点二、导数公式表 常用函数的求导公式,其中C,α,a均为常数,a>0且a≠1。 y=f(x) y'=f'(x) y=C y'=0 y=xα y'=αxα-1 y=ax y'=axln a y=logax y'= y=sin x y'=cos x y=cos x y'=-sin x 微提醒 　　(1)在以后求导数时,可直接运用求导公式,不必利用导数的定义去求。 (2)幂函数的求导规律:求导幂减1,原幂作系数。 类型一 利用导数公式求函数的导数 　　【例1】　求下列函数的导数: (1)y=;(2)y=;(3)y=cos x;(4)y=log2x。 解　(1)y'='=(x-5)'=-5x-6=-; (2)y'=()'=()'==; (3)y'=-sin x; (4)y'=。 　　求基本初等函数的导数 (1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式,则直接利用公式求导。 (2)若给出的函数解析式不符合导数公式,则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导,如根式要化成指数幂的形式求导。 【变式训练】　(多选)下列函数求导运算正确的为 (BCD) A.(3x)'=3xlog3e B.(log2x)'= C.=x D.若y=,则在x=3处的导数为- 解析　A中(3x)'=3xln 3,故A错误;由导数公式知B正确;C中==x正确;D中y==x-2,y'=-,故在x=3处的导数为-正确。故选BCD。 类型二 导数公式的应用 　　【例2】　已知曲线y=5,求: (1)这条曲线上与直线y=2x-4平行的切线方程; (2)过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程。 解　(1)设切点坐标为(x0,y0),由y=5,得y'=。所以切线斜率为。因为切线与直线y=2x-4平行,所以=2。所以x0=,所以y0=。则所求的切线方程为y-=2x-,即16x-8y+25=0。 (2)因为点P(0,5)不在曲线y=5上,所以设切点坐标为M(t,u),则切线斜率为。又切线斜率为,所以==。所以t-2=0,解得t=4。所以切点为M(4,10),斜率为。所以切线方程为y-10=(x-4),即5x-4y+20=0。 　　求以曲线上的点为切点的切线方程的方法和步骤 (1)求切点处的导数即为切线的斜率; (2)由直线方程的点斜式写出切线方程。 【变式训练】　过曲线y=sin x上点P,,且与过这点的切线垂直的直线方程为 2x+y--=0 。  解析　因为y=sin x,所以f'(x)=cos x,曲线在点P,处的切线斜率是f'=cos=,所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为-,故所求的直线方程为y-=-x-,即2x+y--=0。 1.'等于 (C) A. B.1 C.0 D. 解析　常数的导数为0。故选C。 2.若y=ln x,则其图像在x=2处的切线斜率是 (D) A.1 B.0 C.2 D. 解析　因为f'(x)=,所以f'(2)=,故图像在x=2处的切线斜率为。故选D。 3.质点的运动方程是s(t)=(其中s的单位为m,t的单位为s),则质点在t=3 s时的速度是 - m/s 。  解析　由s(t)==t-4,得s'(t)=-4t-5,所以s'(3)=-4×3-5=-4×=-,所以质点在t=3 s时的速度为- m/s。 4.曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为 2x-y-1=