6.1.2 导数及其几何意义-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

6.1.2　导数及其几何意义 ( 　　 动车组高速、稳定、安全 , 给我们的出行带来了方便。动车组驶出市区之后 , 速度越来越快 , 车厢前方的电子屏幕上不断刷新着最新的即时速度记录 —— 160 , 178 , 203 , 230 ( km/h ) 。列车风驰电掣地“飞行” , 这样的速度超过 12 级风的风速。你能计算出这辆列车在整个旅途中的平均速度吗 ? 1 . 理解运动物体在某时刻的瞬时变化率 ( 瞬时速度 ); 2 . 理解导数的几何意义 , 并会求曲线在某点处的切线方程。 )　 知识点一、瞬时变化率与导数 1.定义:一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义,自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限接近于0时,若平均变化率=无限接近于—个常数k,那么称常数k为函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率。此时,也称f(x)在x0处可导,并称k为f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)=k。 2.表示:当Δx→0时,→k,或者写成=k。 3.函数y=f(x)在x=x0处的导数定义式:f'(x0)=。 知识点二、导数的几何意义 1.曲线割线的斜率。 (1)定义:将函数y=f(x)的图像看成曲线,而且曲线在点A(x0,f(x0))处的切线为l,则Δx很小时,B(x0+Δx,f(x0+Δx))是A附近的一点,割线AB的斜率是=。 (2)几何意义:当Δx无限接近于0时,割线的斜率将无限趋近于切线l的斜率。 2.函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义。 (1)几何意义:曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(也称在x=x0处)的切线的斜率是f'(x0)。 (2)相应的切线方程:y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)。 微思考 　　1.平均变化率与瞬时变化率的区别与联系是什么? 提示:①区别:平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢;②联系:当Δx趋向于0时,平均变化率趋向于一个常数,这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个固定值。 2.曲线的切线与曲线只有一个公共点吗? 提示:不一定,曲线的切线与曲线除了切点外,可能还有其他的公共点。如图,l为曲线y=f(x)的切线,但它们有两个公共点A,B。 类型一 求瞬时速度 　　【例1】　如果某物体的运动路程s与时间t满足函数s=2(1+t2)(s的单位为m,t的单位为s),求此物体在1.2 s末的瞬时速度。 解　Δs=2[1+(1.2+Δt)2]-2(1+1.22)=4.8Δt+2(Δt)2,=(4.8+2Δt)=4.8,即s'(1.2)=4.8,故物体在1.2 s末的瞬时速度为4.8 m/s。 　　求运动物体瞬时速度的步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0); (2)求平均速度=; (3)求瞬时速度,当Δt无限接近于0时,无限接近于常数v,即为瞬时速度。 【变式训练】　已知函数f(x)在x=x0处可导,则 (B) A.与Δx,x0都有关 B.仅与x0有关,而与Δx无关 C.仅与Δx有关,而与x0无关 D.与x0,Δx均无关 解析　由导数的定义,对给定的可导函数f(x),有=f'(x0)。显然,f'(x0)仅与x0有关,而与Δx无关。 类型二 求函数在某一点处的导数 　　【例2】　建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y万元,y是x的函数,y=f(x)=++0.3,求f'(100),并解释它的实际意义。 解　根据导数的定义,得===+,f'(100)=+=+=0.105。f'(100)=0.105表示当建筑面积为100 m2时,成本增加的速度为1 050 元/m2,也就是说当建筑面积为100 m2时,每增加1 m2的建筑面积,成本就要增加1 050元。 　　求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤 简称:一差、二比、三极限。 【变式训练】　已知f(x)=x-,若f'(x0)=,则x0的值为 ±2 。  解析　Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)--x-=Δx+,所以=1+。当Δx→0时,→1+,所以f'(x0)=1+=,所以x0=±2。 类型三 求曲线的切线方程 　　【例3】　(1)求曲线y=f(x)=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程。 解　因为点(1,3)在曲线上,且f(x)在x=1处可导,且===(Δx)2+3Δx+2,从而当Δx→0时,(Δx)2+3Δx+2→2,故f'(1)=2。故所求切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0。 (2)已知曲线y=f(x)=x3上一点Q(1,1),求过点Q的切线方程。解　当Q(1,1)为切点时,可求得切线方程为y=3x-2。当Q(1,1)不是切点时,设切点为P(x0,),则由导数