5.专题 数列求和-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

专题　数列求和 知识点、数列求和的常用方法 数列求和可分为特殊数列求和与一般数列求和,特殊数列就是指等差或等比数列,非等差或非等比数列称为一般数列。对于特殊数列的求和,要恰当地选择,准确地应用求和公式,采用公式法直接求和;对于一般的数列求和,可采用分组化归法、并项转化法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等。 类型一 分组求和 　　【例1】　(1)求数列1,3,5,…,(2n-1)+的前n项和。 解　Sn=1+3+5+…+=(1+3+5+…+2n-1)++++…+=+=n2+1-。 (2)求和:12-22+32-42+52-62+…+992-1002。解　由平方差公式,得原式=(1-2)×(1+2)+(3-4)×(3+4)+(5-6)×(5+6)+…+(99-100)×(99+100)=-[(1+2)+(3+4)+(5+6)+…+(99+100)]=-(1+2+3+4+…+100)=-=-5 050。 　　如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成,并且各独立项也可组成等差或等比数列,则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解。 【变式训练】　求和:Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n·(2n-1)。 解　当n为奇数时,Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+5)+(2n-3)]+(-2n+1)=2·+(-2n+1)=-n。当n为偶数时,Sn=(-1+3)+(-5+7)+…+[(-2n+3)+(2n-1)]=2·=n。所以Sn=(-1)n·n(n∈N+)。 类型二 倒序相加求和 　　【例2】　设f(x)=,则S=f+f+…+f= 1 011 。  解析　因为f(x)=,所以f(1-x)===,所以f(x)+f(1-x)=1。又S=f+f+…+f　①,S=f+f+…+f　②,①+②得2S=2 022,所以S=1 011。 　　如果一个数列{an}中,与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,那么把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序求和法。 【变式训练】　设f(x)=,求f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值。 解　设S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6),则S=f(6)+f(5)+…+f(0)+…+f(-4)+f(-5)。两式相加,得2S=[f(6)+f(-5)]+[f(5)+f(-4)]+…+[f(1)+f(0)]+…+[f(-4)+f(5)]+[f(-5)+f(6)]。因为f(x)=,所以f(1-x)===,所以f(x)+f(1-x)=+=,所以2S=12×=6,所以S=3。 类型三 裂项相消求和 　　【例3】　求数列,,,,…的前n项和。 解　因为通项an==-,所以此数列的前n项和Sn=1-+-+-+…+-+-==-。 　　裂项相消法求和 裂项相消法求和就是将数列的每一项拆成两项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项,进而达到求和的目的。 常用的裂项技巧有: ①=; 　　②若{an}为等差数列,公差为d,则=-; ③=(-)。 【变式训练】　求和:+++…+,n≥2。 解　因为==-,所以原式=+++…+=1+--=-。 类型四 错位相减法 　　【例4】　已知数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N+。 (1)证明:数列是等差数列; (2)设bn=3n·,求数列{bn}的前n项和Sn。 解　(1)证明:由已知可得=+1,即-=1,所以是以=1为首项,1为公差的等差数列。 (2)由(1)得=1+(n-1)·1=n,所以an=n2,从而可得bn=n·3n,Sn=1×31+2×32+…+(n-1)×3n-1+n×3n　①,3Sn=1×32+2×33+…+(n-1)3n+n×3n+1　②。①-②得-2Sn=31+32+…+3n-n·3n+1=-n·3n+1=,所以Sn=。 　　若数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn},当求该数列的前n项和时,常常采用将{anbn}的各项乘以公比q,并项后错位一项与{anbn}的同次项对应相减,即可转化为特殊数列的求和问题,所以这种数列求和的方法称为错位相减法。 【变式训练】　已知数列{an},a1=1,an=2·3n-2(n≥2),则数列{nan}的前n项和Tn= +n-·3n-1(n∈N+) 。  解析　Tn=a1+2a2+3a3+…+nan。当n=1时,T1=1;当n≥2时,Tn=1+4·30+6·31+…+2n·3n-2,　①3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,　②由①-②,得-2Tn=1+(4-3)+