5.5 数学归纳法-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

5.5　数学归纳法 ( 　　 往一匹健壮的马身上放一根稻草 , 马毫无反应 ; 再添加一根稻草 , 马还是丝毫没有感觉 …… 一直往马身上添加稻草 , 当最后一根轻飘飘的稻草放到了马身上后 , 马竟不堪重负瘫倒在地。这在社会学里 , 取名为“稻草原理”。这也是多米诺骨牌效应的一个体现 , 其中更蕴含着一种递推的数学思想 , 下面我们来学习一下这种数学思想。 1 . 了解数学归纳法的原理 ; 2 . 掌握数学归纳法的步骤 ; 3 . 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 ) 知识点、数学归纳法的定义 一个与自然数相关的命题,如果当n=n0时,命题成立;在假设n=k(其中k≥n0)时命题成立的前提下,能够推出n=k+1时命题也成立。那么,这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立。 　 类型一 证明与数列相关的问题 　　【例1】　数列{an}满足:a1=,前n项和Sn=an。 (1)写出a2,a3,a4; (2)猜出an的表达式,并用数学归纳法证明。 解　(1)令n=2,得S2=a2,即a1+a2=3a2,解得a2=。令n=3,得S3=a3,即a1+a2+a3=6a3,解得a3=。令n=4,得S4=a4,即a1+a2+a3+a4=10a4,解得a4=。 (2)由(1)的结果猜想an=,下面用数学归纳法给予证明。 ①当n=1时,a1==,结论成立。 ②假设当n=k(k∈N+)时,结论成立,即ak=,则当n=k+1时,Sk=ak　①,Sk+1=ak+1　②,②-①得ak+1=ak+1-ak,整理得ak+1=ak=·==,即当n=k+1时结论也成立。由①②知对于n∈N+,上述结论都成立。 　　(1)数列{an}既不是等差数列,也不是等比数列,要求其通项公式,只能根据给出的递推式和初始值,分别计算出前几项,然后归纳猜想出通项公式an,并用数学归纳法加以证明。 (2)数学归纳法是重要的证明方法,常与其他知识结合,尤其是数学中的归纳,猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查,证明中要灵活应用题目中的已知条件,充分考虑“假设”这一步的应用,不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法。 【变式训练】　已知数列{an}满足关系式a1=a(a>0),an=(n≥2,n∈N+)。 (1)用a表示a2,a3,a4; (2)猜想an的表达式(用a和n表示),并用数学归纳法证明。 解　(1)a2=,a3===,a4===。 (2)因为a1=a=,a2=,…,猜想an=。下面用数学归纳法证明。 ①当n=1时,因为a1=a=,所以当n=1时猜想成立, ②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时猜想成立,即ak=,所以当n=k+1时,ak+1=====,所以当n=k+1时猜想也成立。根据①与②可知猜想对一切n∈N+都成立。 类型二 证明平面几何问题 　　【例2】　证明:凸n边形的对角线的条数为f(n)=n(n-3)(n≥4,n∈N+)。 证明　①当n=4时,四边形有两条对角线,f(4)=×4×(4-3)=2,命题成立。 ②假设当n=k(k≥4,k∈N+)时命题成立,即f(k)=k(k-3)。那么当n=k+1时,增加一个顶点,凸多边形的对角线增加(k-1)条,则f(k+1)=f(k)+k-1=k(k-3)+k-1=(k2-k-2)=(k+1)(k-2)=(k+1)[(k+1)-3],即当n=k+1时命题也成立。根据①和②,可知命题对任意n≥4,n∈N+都成立。 　　在几何问题中,常有与正整数n有关的几何证明题,其中有交点个数、对角线条数、内角和、将平面分成若干部分等问题,利用数学归纳法证明时,关键是“找增量”,即几何元素从k(k∈N+)个变成(k+1)个时,所证的几何量将增加多少个。解题时可以先用f(k+1)-f(k)得出结果,再结合几何图形给予严谨的证明。 【变式训练】　平面上有n(n∈N+)条直线,它们之间任何两条不平行,任何三条不共点,求证这n条直线将平面分成+1部分。 证明　当n=1时,一条直线把平面分成两部分,+1=2,所以当n=1时,命题成立。假设当n=k(k∈N+)时,命题成立,即k条直线把平面分成+1部分。当n=k+1时,这k+1条直线中的k条直线把平面分成+1部分,第k+1条直线与前k条直线共有k个交点,将第k+1条直线分成k+1部分,这时将平面多分成了k+1部分,即k+1条直线把平面分成+1+(k+1)=+1部分,所以当n=k+1时,命题也成立,故原命题成立。 类型三 证明不等式 　　【例3】　证明:不等式1+++…+<2(n∈N+)。 证明　①当n=1时,左边=1,右边=2,左边<右边,不等式成立。 ②假设当n=k(k≥1且k∈N+)时,不等式成立,即1+++…+<2。则当n=k+1时,1+++…++<2