5.3.2 第1课时 等比数列前n项和的概念-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

5.3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列前n项和的概念 ( 　　 一个人知道一则消息 , 他第一次对 2 个人说了 , 结果全城人中就有 3 个人知道了 ; 这 2 个人又每人把消息告诉了 2 个人 , 结果全城人中就有 7 个人知道了。假如这样传播 9 次 , 全城中该有多少人知道了 ? 1 . 理解等比数列的前 n 项和公式并掌握公式推导思路 ; 2 . 会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。 ) 　 知识点一、等比数列前n项和公式 设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则Sn= 知识点二、错位相减法 1.推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法。 2.该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和,即若{bn}是公差d≠0的等差数列,{cn}是公比q≠1的等比数列,求数列{bn·cn}的前n项和Sn时,可以用这种方法。 微提醒 　　在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量:a1,n,q,an,Sn。知道其中任意三个,可求其余两个。 更要注意的是应用该公式计算时,一定不要忽略q=1情况的讨论。 　 类型一 运用等比数列前n项和公式求基本量 　　【例1】　在等比数列{an}中, (1)已知a1=-1,a4=64,求q和S4; (2)已知a1=3,q=2,求a6,S6; (3)已知a3=3,S3=9,求a1,q。 解　(1)因为a4=a1q3,所以64=-q3。所以q=-4,所以S4===51。 (2)a6=a1q5=3×25=96。S6===189。 (3)由题意,得令②÷①,得=3,所以2q2-q-1=0,所以q=1或q=-。当q=1时,a1=3;当q=-时,a1=12。 　　在等比数列{an}中,首项a1与公比q是两个最基本的元素;有关等比数列的问题,均可化成关于a1,q的方程或方程组求解。解题过程中,要注意: (1)选择适当的公式。 (2)利用等比数列的有关性质。 (3)注意在使用等比数列前n项和公式时,要考虑q是否等于1。 【变式训练】　(1)在等比数列{an}中,若a1+a3=10,a4+a6=,求a4和S5。 解　设公比为q,由通项公式及已知条件得即因为a1≠0,1+q2≠0,所以②÷①得,q3=,即q=,所以a1=8。所以a4=a1q3=8×=1,S5===。 (2)求数列{(-1)n+2}的前100项的和。 解　解法一:令an=(-1)n+2,n∈N+,因为==-1(n≥2,n∈N),a1=(-1)3=-1,an≠0,所以该数列是等比数列,所以S100==0。 解法二:数列{(-1)n+2}为-1,1,-1,1,…,所以S100=50×(-1+1)=0。 类型二 错位相减法求和 　　【例2】　已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列。 (1)求{an}的通项公式; (2)记bn=的前n项和为Tn,求Tn。 解　(1)设正项等差数列{an}的公差为d,则d>0。因为S3=12,即a1+a2+a3=12,所以3a2=12,所以a2=4。又2a1,a2,a3+1成等比数列,所以=2a1×(a3+1),即42=2(4-d)×(4+d+1),解得d=3或d=-4(舍去),所以a1=a2-d=1,故数列{an}的通项公式为an=3n-2。 (2)bn===(3n-2)×,所以Tn=1×+4×+7×+…+(3n-2)×　①,①×得,Tn=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×　②。①-②得,Tn=+3×+3×+3×+…+3×-(3n-2)×=+3×-(3n-2)×=-×-(3n-2)×,所以Tn=-×-×=-×。 　　一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{anbn}的前n项和时,可采用错位相减法。 【变式训练】　已知数列{an}的通项公式an=n·2n,求该数列的前n项和Sn。 解　因为Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n,2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,所以-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1,所以Sn=n·2n+1-(2+22+23+…+2n)=n·2n+1-=n·2n+1-(2n+1-2)=(n-1)·2n+1+2。 1.等比数列{an}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项的和是 (B) A.179 B.211 C.243 D.275 解析　因为q4===,所以q=,所以S5===211。 2.等比数列{an}的前n项和Sn=k·3n+1,则k的值为 (B) A.全体实数 B.-1 C.1 D.3 解析　因为Sn==-·qn,又Sn=1+k·3n,所以=