5.3.1 第2课时 等比数列的性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第2课时　等比数列的性质 ( 　　 观察等比数列 : 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 , … 。 可以发现 : 16 2 =8×32=4×64=2×128 , 即 = a 3 a 5 = a 2 a 6 = a 1 a 7 。 观察项的角标满足什么关系 ? 由此你能得到什么固定的结论吗 ? 1 . 掌握等比中项的概念并会应用 ; 2 . 灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形 ; 3 . 理解等比数列的有关性质 , 并能用相关性质简化计算。 ) 知识点一、等比中项 如果x,G,y是等比数列,那么称G为x与y的等比中项。根据等比中项与等比数列的定义可知=,因此G2=xy。由此可知G=±。 知识点二、等比数列的性质 (1)对称性:a1an=a2an-1=a3an-2=…=am·an-m+1(n>m且n,m∈N+); (2)若正整数s,t,p,q满足s+t=p+q,则asat=apaq; (3)若s,p,q成等差数列,则as,ap,aq成等比数列; (4)在等比数列{an}中,连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列; (5) 如果{an},{bn}均为项数相同的等比数列,且公比分别为q1,q2,那么数列,{anbn},,{|an|}仍是等比数列,且公比分别为,q1q2,,|q1|。 知识点三、等比数列的单调性 公比q单调性首项a1 q>1 0<q<1 q=1 q<0 a1>0 递增数列 递减数列 常 数列 摆动 数列 a1<0 递减数列 递增数列 微提醒 　　只有同号的两个数才有等比中项,等比中项有两个,它们互为相反数这一点与等差数列不同。 类型一 等比中项的应用 　　【例1】　(1)在等比数列{an}中,a1=,q=2,则a4与a8的等比中项为 (C) A.±　　　B.4　　　C.±4　　　D. 解析　a4=a1q3=×23=1,a8=a1q7=×27=16,a4与a8的等比中项为±,即±4。 (2)已知b是a,c的等比中项,求证:ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项。 证明　b是a,c的等比中项,则b2=ac,又(a2+b2)(b2+c2)=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,(ab+bc)2=a2b2+2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,所以(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2),即ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项。 　　由等比中项的定义可知:=⇒G2=xy⇒G=±。这表明只有同号的两项才有等比中项,并且这两项的等比中项有两个,它们互为相反数。反之,若G2=xy,则=,即x,G,y成等比数列。所以x,G,y成等比数列⇔G2=xy(xy≠0)。 【变式训练】　在等差数列{an}中,公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则等于多少? 解　由题意知a3是a1和a9的等比中项,所以=a1a9,所以(a1+2d)2=a1(a1+8d),得a1=d,所以==。 类型二 等比数列性质的应用 　　【例2】　已知数列{an}为等比数列。 (1)若an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=36,求a3+a5的值; (2)若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求数列{an}的通项公式。 解　(1)因为a2a4+2a3a5+a4a6=36,所以+2a3a5+=36,所以(a3+a5)2=36,又因为an>0,所以a3+a5=6。 (2)因为=a1a3代入已知,得=8,所以a2=2。设前三项为,2,2q,则有+2+2q=7。整理,得2q2-5q+2=0,所以q=2或q=。所以或所以an=2n-1或an=23-n。 　　在等比数列的有关运算中,常常涉及到次数较高的指数运算。若按常规解法,往往是建立a1,q的方程组,这样解起来很麻烦。通过本例可以看出:结合等比数列的性质进行整体变换,会起到化繁为简的效果。 【变式训练】　设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8=3a7,则log3(a1a2…a9)等于 (C) A.38 B.39 C.9 D.7 解析　因为a4·a8=a5·a7=3a7且a7≠0,所以a5=3,所以log3(a1a2…a9)=log3=log339=9。 类型三 等比数列未知量的设法 　　【例3】　(1)已知4个数成等比数列,其乘积为1,第2项与第3项之和为-,则此4个数分别为 8,-2,,-或-,,-2,8 。  解析　设4个数依次为a,aq,aq2,aq3,则解得或所以这4个数分别为8,-2,,-或-,,-2,8。 (2)已知3个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这3个数。 解　由题意可以