5.3.1 第1课时 等比数列的定义与通项公式-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

5.3　等比数列 5.3.1　等比数列 第1课时　等比数列的定义与通项公式 ( 　　 将一张厚度为 0 . 044 mm 的白纸一次又一次地对折 , 对折 1 000 次 ( 假设是可能的 ), 纸的厚度将是 4 . 4×10 296 m , 相当于约 5 . 0×10 292 个珠穆朗玛峰的高度和 , 这可能吗 ? 一位数学家曾经说过 : 你如果能将一张报纸对折 38 次 , 我就能顺着它在今天晚上爬上月球。将一张报纸对折会有那么大的高度吗 ? 这就是我们今天要解决的问题。 1 . 理解等比数列的定义 , 并能利用定义判断或证明一个数列是否为等比数列 ; 2 . 掌握等比数列的通项公式的概念 , 能利用通项公式求某一项。 ) 知识点一、等比数列的定义 如果数列{an}从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q,即=q恒成立,则称{an}为等比数列,其中q称为等比数列的公比。 知识点二、等比数列的通项公式 一般地,如果等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则等比数列的通项公式为an=a1qn-1(n∈N+)。推广形式为:an=am·qn-m(n,m∈N+)。 微提醒 　　类比等差数列通项公式的推导过程,可得到等比数列通项公式。 等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项,等比数列则可用累乘。根据等比数列的定义得 =q,=q,=q,…,=q(n≥2)。 将上面n-1个等式的左、右两边分别相乘, 得···…·=qn-1,化简得=qn-1,即an=a1qn-1(n≥2)。 当n=1时,上面的等式也成立。 所以an=a1qn-1(n∈N+)。 微思考 　　等比数列各项满足什么条件? 提示:等比数列各项均不为零。 类型一 等比数列的判定 　　【例1】　判断下列数列是否为等比数列。 (1)1,3,32,33,…,,…; (2)-1,1,2,4,8,…; (3)a1,a2,a3,…,an,…。 解　(1)记数列为{an},显然a1=1,a2=3,…,an=3n-1,…。因为==3(n≥2,n∈N+),所以数列为等比数列,且公比为3。 (2)记数列为{an},显然a1=-1,a2=1,a3=2,…,因为=-1≠=2,所以此数列不是等比数列。 (3)当a=0时,数列为0,0,0,…是常数列,不是等比数列;当a≠0时,数列为a1,a2,a3,a4,…,an,…,显然此数列为等比数列,且公比为a。 　　判定等比数列,要抓住3个要点: ①从第2项起。②要判定每一项,不能有例外。③每一项与前一项的比是同一个常数,且不能为0。 【变式训练】　下面四个数列: ①1,1,2,4,8,16,32,64; ②在数列{an}中,已知=2,=2; ③常数列a,a,…,a,…; ④在数列{an}中,=q(q≠0),其中n∈N+。 其中是等比数列的有 ④ 。(只填序号)  类型二 等比数列的证明 　　【例2】　数列{an}满足a1=-1,且an=3an-1-2n+3(n=2,3,…)。求a2,a3,并证明数列{an-n}是等比数列。 解　a2=3a1-2×2+3=-4,a3=3a2-2×3+3=-15。下面证明{an-n}是等比数列:===3(n=1,2,3,…)。又a1-1=-2,所以{an-n}是以-2为首项,以3为公比的等比数列。 　　判断一个数列是否是等比数列可以通过:=q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列或者an=a1qn-1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列。 【变式训练】　已知数列{an}是首项为2,公差为-1的等差数列,令bn=,求证数列{bn}是等比数列,并求其通项公式。 解　由已知得,an=2+(n-1)×(-1)=3-n,故====2,所以数列{bn}是等比数列。因为b1==,所以bn=×2n-1=2n-3。 类型三 等比数列通项公式的应用 　　【例3】　在等比数列{an}中, (1)a4=2,a7=8,求a10; (2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n; (3)a3=2,a2+a4=,求an。 解　(1)因为由,得q3=4,由an=am·qn-m,得a10= a7·q3=32。 (2)因为由,得q=,从而a1=32,又an=1,所以32×=1,即26-n=20,所以n=6。 (3)设等比数列{an}的公比为q,则q≠0。a2==,a4=a3q=2q,所以+2q=,解得q1=,q2=3。当q=时,a1=18,所以an=18×=2×33-n。当q=3时,a1=,所以an=×3n-1=2×3n-3。综上,当q=时,an=2×33-n;当q=3时,an=2×3n-3。 　　a1和q是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,其他量便可迎刃而解。此类问题求