5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第2课时　等差数列前n项和的性质 ( 　　 等差数列的前 n 项和公式是一个关于 n 的函数 , 那么这个函数和二次函数有什么关系呢 ? 等差数列的前 n 项和公式又具有什么独特的性质呢 ? 这一节课我们就来研究一下这些问题。 1 . 掌握等差数列与其前 n 项和 S n 有关的一些性质 , 能熟练运用这些性质解题 ; 2 . 会利用等差数列前 n 项和的函数特征求最值。 ) 　 知识点一、等差数列前n项和的性质 性质一:等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…组成公差为k2d的等差数列。 性质二:等差数列的项数为2n(n∈N+),则=n(an+an+1),S偶-S奇=nd,=(S奇≠0,an≠0);若等差数列的项数为2n-1(n∈N+),则S2n-1=(2n-1)an(an是数列的中间项),S奇-S偶=an,=(S奇≠0)。 性质三:{an}为等差数列⇒为等差数列。 知识点二、等差数列前n项和Sn的最值 1.公式Sn=na1+可化成关于n的表达式:Sn=n2+n。当d≠0时,Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次式,即点(n,Sn)在其相应的二次函数的图像上,这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数,它的图像是抛物线y=x2+x上横坐标为正整数的一系列孤立的点。 2.在等差数列{an}中,当a1>0,d<0时,Sn有最大值,使Sn取得最值的n可由不等式组确定;当a1<0,d>0时,Sn有最小值,使Sn取得最值的n可由不等式组确定。 微思考 　　{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{|an|}的前n项和也是Sn吗? 提示:不一定。 类型一 等差数列前n项和性质一 　　【例1】　已知等差数列{an},Sm,S2m,S3m分别是其前m,前2m,前3m项和,若Sm=30,S2m=100,求S3m。 解　解法一:设{an}的公差为d,依据题设和前n项和公式有:②-①,得ma1+d=70,所以=3ma1+d=3ma1+d=3×70=210。 解法二:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,所以30,70,S3m-100成等差数列。所以2×70=30+S3m-100。所以S3m=210。 解法三:在等差数列{an}中,因为Sn=a1n+n(n-1)d,所以=a1+(n-1)。即数列构成首项为a1,公差为的等差数列。依题中条件知,,成等差数列,所以2·=+。所以S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210。 　　在等差数列中,前n项和Sn的问题利用公式可列出关于a1和d的方程(组)。要注意等差数列中Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也成等差数列且公差为m2d,,,,…也成等差数列,用此性质可简化运算。 【变式训练】　已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则的值为  。  解析　设S3=a,S6=3a,根据S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是一个首项为a,公差为a的等差数列,各项分别为a,2a,3a,4a。==。 类型二 等差数列前n项和性质二 　　【例2】　项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数。 解　设等差数列共2n+1项,则奇数项有n+1项,偶数项有n项,中间项是第n+1项,记为an+1,设公差为d,则所以S奇-S偶=a1+nd=an+1=11,即中间项an+1=11。又S2n+1=S奇+S偶=77。所以==77,所以(2n+1)×11=77,所以2n+1=7,即数列的中间项为11,这个数列共7项。 　　若S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数项的和,公差为d,则当项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd,=;当项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=an,=。 【变式训练】　已知某等差数列共有20项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,求其公差。 解　S偶-S奇=10d⇒30-15=10d⇒d=。 类型三 求等差数列前n项和的最值问题 　　【例3】　数列{an}的前n项和Sn=33n-n2。 (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前多少项和最大。 解　(1)解法一:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=34-2n,又当n=1时,a1=S1=33-1=32满足an=34-2n。故{an}的通项公式为an=34-2n。 解法二:由Sn=-n2+33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数,所以{an}是等差数列,由Sn的结构特征知解得a1=32,d=-2,所以an=34-2n。 (2)解法一:令an≥0,得34-2n≥0,所以n≤17,故数列{an}的前17项大于或等于零。又a17=0,故数列{an}的前16项或前17项的和最大。 解法二:因为y=-x2+33x的对称轴为x=,距离最近的整数为1