思想03 运用函数与方程的思想方法解题（4大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

思想03 运用函数与方程的思想方法解题 【目录】 1 2 2 3 考点一：运用函数的思想研究问题 3 考点二： 运用方程的思想研究问题 5 考点三：运用函数与方程的思想研究不等式问题 5 考点四：运用函数与方程的思想研究其他问题 6 高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等． 1、函数与方程是紧密相联、可以相互转化的．在研究方程解的存在性、方程解的个数、方程解的分布等问题时，一般利用方程的性质，对方程进行同解变形，进而构造函数，利用函数的图象与性质求解方程问题．例如，方程解的个数可以转化为函数的图象与轴交点的个数，也可以参变分离，转化为水平直线与函数图象交点的个数，也可以部分分离，转化为斜线与函数图象交点的个数，也可以构造两个熟悉函数，转化为两个函数图象交点的个数． 2、在研究函数问题时，运用方程的思想，设出未知数，通过题目中的等量关系，建立方程（组），进而求解方程（组），或者将方程变形，构造新函数，更易于研究其图象和性质．例如，在研究曲线的切线问题时，设出切点横坐标，得到切线斜率，切线方程为 ， 从而将函数中的切线问题转化为关于切点横坐标的方程问题． 3、函数、方程、不等式三位一体，常常相互转化．在研究不等式的解集、不等式恒成立、不等式有解、不等式的证明等问题时，最重要的思想方法就是函数与方程思想，构造适当的函数，分析、 转化不等式问题．例如，不等式或恒成立，可以转化为或．也可以考虑参变分离再求函数的最值． 4、函数与方程的思想贯穿高中数学的多个模块，在数列、解析几何、三角形、立体几何等内容中都有广泛的运用．函数思想体现的是运动与变化的观念，通过分析问题中的数量关系，建构函数，再运用函数的图象与性质分析．转化问题，进而解决问题．方程思想体现的是“动中求静”，寻求变化过程中保持不变的等量关系，建构方程（组），通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析，转化问题，使问题获得解决． 1．（2023·全国·统考高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2023·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 3．（多选题）（2023·全国·统考高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 4．（2023·天津·统考高考真题）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 ． 5．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 6．（2023·全国·统考高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 7．（2023·全国·统考高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 8．（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 考点一：运用函数的思想研究问题 【例1】（2024·浙江金华·统考模拟预测）已知函数. （1）若函数有极大值点，求出极大值的取值范围； （2）若，求证：在区间内有且仅有一个实数，使得. 【变式1-1】（2024·辽宁大连·高三辽师大附中校考阶段练习）已知函数，且 （1）求的最小值； （2）当取得最小值时，若方程无实根，求实数的取值范围． 【变式1-2】（2024·全国·高三专题练习）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用．例如求方程的近似解，先用函数零点存在定理，令，，，得上存在零点，取，牛顿用公式反复迭代，以作为的近似解，迭代两次后计算得到的近似解为 ；以为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为 ． 【变式1-3】（2024·山东·高三山东省实验中学校考期中）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围. 考点二： 运