江西省新余市实验中学2023-2024学年高二上学期周练四数学试卷（9.27）

2023年9月27日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知椭圆的左顶点为A，右焦点为，过右焦点作x轴垂线交椭圆于B、C两点，连结BO并延长交AC于点M，若M为AC的中点，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件为“两位游客选择的景点相同”，则等于（    ） A． B． C． D． 3．椭圆：的左顶点为，点，是上的任意两点，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的上焦点作斜率为的直线，直线交椭圆于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ） A．事件B与事件相互独立 B． C． D． 8．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以表示从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．事件与事件相互独立 D．，，两两互斥 9．已知二项展开式，下列说法正确的有（    ） A．的展开式中的常数项是 B．的展开式中的各项系数之和为 C．的展开式中的二项式系数最大值是 D．，其中为虚数单位 10．下列说法正确的是（    ） A．甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法 B．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有种 C．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种 D．3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种 三、解答题 11．甲，乙两学校进行体育比赛，比赛共设两个项目，每个项目胜方得分，负方得分，平局各得分．两个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在两个项目中获胜的概率分别为，，甲学校在两个项目中平局的概率分别为，．各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校两场比赛后获得冠军的概率； (2)用表示甲学校两场比赛的总得分，求的分布列与期望． 12．第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球．若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 13．已知P为圆上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，M为PQ的中点.M的轨迹曲线E. (1)求曲线E的轨迹方程； (2)曲线E交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B.直线与曲线E交于C，D两点，若直线直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为.证明：为定值． 14．已知椭圆的上顶点、右焦点分别为为坐标原点，且是面积为2的等腰直角三角形. (1)求C的方程； (2)设A，B是C上的两个动点，且以为直径的圆经过点O，证明：为定值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】根据图像，求出各点坐标结合向量共线，求出关系即可. 【详解】当时，， 所以，则， ， 则，则. 故选：A    2．A 【分析】利用条件概率公式即可求得的值. 【详解】由题意，知， 所以． 故选：A． 3．C 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再结合可求出离心率. 【详解】由题意得，设， 因为点，是上的任意两点，且关于轴对称， 所以，， 所