（7）平面解析几何解答题题型强化练-2024届高考数学二轮复习专练

（7）解答题————2024届高考数学二轮复习 解析几何题型强化练【新课标版】 1.已知椭圆的左焦点为，且过点. （1）求椭圆的标准方程; （2）过作一条斜率不为0的直线PQ交椭圆于P、Q两点，D为椭圆的左顶点，若直线DP、DQ与直线分别交于M、N两点，l与x轴的交点为R，则是否为定值？若为定值，请求出该定值;若不为定值，请说明理由. 2.已知双曲线，，分别是C的左、右焦点．若C的离心率，且点在C上． （1）求C的方程． （2）若过点的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点（不同于双曲线的顶点），问：是否为定值？若是，求出该定值;若不是，请说明理由． 3.已知抛物线的焦点为F，且A，B，C三个不同的点均在上. （1）若直线AB的方程为，且点F为的重心，求p的值; （2）设，直线AB经过点，直线BC的斜率为1，动点D在直线AC上，且，求点D的轨迹方程. 4.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆:的焦距为2，过点. （1）求椭圆C的标准方程; （2）若直线l交椭圆C于点P，Q，直线AP，AQ分别交y轴于点M，N，且，求证:直线l过定点. 5.己知双曲线的一条渐近线为，且双曲线C的虚轴长为． （1）求双曲线C的方程; （2）记O为坐标原点，过点的直线l与双曲线C相交于不同的两点M、N，若的面积为，求直线l的方程． 6.已知椭圆的离心率为，过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，D，E，F为椭圆上不同于A，B的点，且，.当l的斜率为0时，的最大面积为2. （1）求椭圆C的标准方程. （2）的面积是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由. 7.已知直线与抛物线交于A，B两点，. （1）求p； （2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，且，求面积的最小值. 8.已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线的顶点为B，且经过，，椭圆的上顶点A满足. （1）求椭圆的方程; （2）设点M满足，点N为抛物线上一动点，抛物线在N处切线与椭圆交于P，Q两点，求面积的最大值. 9.已知双曲线的右焦点为，过F且斜率为的直线l交C于A，B两点，且当时，A的横坐标为3. （1）求C的方程; （2）设O为坐标原点，过A且平行于x轴的直线与直线OB交于点D，P为线段AD的中点，直线OP交l于点Q，证明:. 10.已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，若以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，3为半径的圆相交于A，B两点，若椭圆E经过A，B两点，且直线，的斜率之积为. （1）求椭圆E的方程; （2）点P是直线上一动点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为M，N. ①求证直线MN恒过定点，并求出此定点; ②求面积的最小值. 答案以及解析 1.答案：（1） （2） 解析：（1）由题知，椭圆C的右焦点为，且过点， 所以，所以.又，所以， 所以C的标准方程为. （2）设直线PQ的方程为，， 由，得 所以，， 直线DP的方程为，令得， 同理可得 所以 故为定值. 2.答案：（1） （2）是定值， 解析：（1）设双曲线C的半焦距为． 由题意可得，解得，，. 所以C的方程为． （2）为定值，理由如下： 由（1）知，设直线，，， 联立方程得，消去x，整理可得， ， ，同理． 直线l过点且与C的左、右两支分别交于A，B两点， A，B两点在x轴同侧，，此时，即． ， ，为定值． 3.答案：（1）8; （2）（且）. 解析：（1）抛物线的焦点， 设，， 由消去x得，则，， 由点F是的重心，得，则， 而点C在上，于是，又，所以. （2）当时，的方程为，设，，， 直线AC的斜率， 同理得直线BC的斜率，直线AB的斜率， 直线AB的方程为，化简得. 而直线AB过点，即，显然，则， 又，即，于是，整理得， 直线AC的方程为，化简得， 将代入，得，令，得，直线AC过定点， 设线段ME的中点为G，则G的坐标为， 因为D在直线AC上，且，因此D在以G为圆心，EM为直径的圆上运动， 因为，所以D的轨迹方程为（且）. 4.答案：（1） （2）证明见解析 解析:（1）方法一:设椭圆的焦距为，则. 不妨设，， 所以，， 所以，解得. 因为，所以椭圆C的标准方程. 方法二:设椭圆C的焦距为2c，则. 由，解得，， 所以椭圆C的标准方程. （2）显然直线AP，AQ斜率都存在. 设直线AP的方程为. 令，得. 设直线AQ的方程为，同理可得. 因为，所以， 所以. 设直线l的方程为. 由得， 所以，， 所以，所以， 所以，解得. 所以直线l过点. 5.答案：（1） （2）或 解析：（1）由题意可得，可得， 因此，双曲线C的方程为. （2）若直线l与y轴重合，则直线l与双曲线C没有交点，不合乎题意， 所以，直线l的斜率存在，设直线l的方程为，设点、， 联立可得， 由题意可得，解得， 由韦达定理可得，， 则，