课时达标13 数列求和-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第二册（北师大版）

课时达标检测(十三)　数列求和 学生用书P093 基础达标 　 一、单项选择题 1.数列{(-1)n(2n-1)}的前2 020项和S2 020等于 (　　) A.-2 018 B.2 020 C.-2017 D.2 017 解析　S2 020=-1+3-5+7+…-(2×2 019-1)+(2×2 020-1)==2 020。故选B。 答案　B 2.已知数列{an}的通项公式为an=ncos,其前n项和为Sn,则S2 019= (　　) A.0 B.-1 010 C.504 D.1 008 解析　由an=ncos,得a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,a8=8,…,由此可知a1+a2+a3+a4=a5+a6+a7+a8=…=2。因为2 019=4×504+3,所以S2 019=2×504+a2 017+a2 018+a2 019=1 008+0-2 018+0=-1 010。故选B。 答案　B 3.若数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n2+3n+2,则{bn}的前10项和为 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析　bn===-,所以{bn}的前10项和S10=b1+b2+b3+…+b10=-+-+-+…+-=-=。 答案　B 4.数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和Sn>1 020,那么n的最小值是 (　　) A.7　　　　 B.8　　　　C.9　　　　 D.10 解析　an=1+2+22+…+2n-1=2n-1。所以Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(21+22+…+2n)-n=2n+1-n-2,所以S9=1 013<1 020,S10=2 036>1 020,所以使Sn>1 020的n的最小值是10。 答案　D 5.已知数列{an}满足2a1+22a2+…+2nan=n(n∈N+),数列的前n项和为Sn,则S1·S2·S3·…·S10= (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析　因为2a1+22a2+…+2nan=n(n∈N+),所以2a1+22a2+…+2n-1an-1=n-1(n≥2,n∈N+),所以2nan=1(n≥2,n∈N+),当n=1时也满足,故an=,故===-,Sn=1-+-+…+-=1-=,所以S1·S2·S3·…·S10=×××…××=,故选C。 答案　C 6.设Sn是数列{an}的前n项和,已知a1=3,an+1=2Sn+3(n∈N+),bn=(2n-1)an,则数列{bn}的前n项和Tn为 (　　) A.(n-1)·3n+1 B.(n-1)·3n+1+3 C.(n-1)·3n+3 D.n·3n+1+3 解析　因为an+1=2Sn+3,所以n≥2时,an=2Sn-1+3,所以an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an,即an+1=3an,又a1=3,a2=2S1+3=9,=3,所以{an}是等比数列,首项和公比都是3,所以an=3n,bn=(2n-1)×3n。则Tn=1×3+3×32+5×33+…+(2n-1)×3n,所以3Tn=1×32+3×33+…+(2n-3)×3n+(2n-1)×3n+1,两式相减得-2Tn=3+2×32+2×33+…+2×3n-(2n-1)×3n+1=3+-(2n-1)×3n+1=(2-2n)×3n+1-6,所以Tn=(n-1)×3n+1+3,故选B。 答案　B 二、多项选择题 7.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=Sn+2an+1,数列的前n项和为Tn,n∈N+,则下列选项正确的为 (　　) A.数列{an+1}是等差数列 B.数列{an+1}是等比数列 C.数列{an}的通项公式为an=2n-1 D.Tn<1 解析　由Sn+1=Sn+2an+1,得an+1=Sn+1-Sn=2an+1,可化为an+1+1=2(an+1),由S1=a1=1,可得数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,则an+1=2n,即an=2n-1,又==-,可得Tn=1-+-+…+-=1-<1,故A错误,B,C,D正确,故选BCD。 答案　BCD 8.已知数列{an}的首项为4,且满足2(n+1)an-nan+1=0(n∈N+),则 (　　) A.为等差数列 B.{an}为递增数列 C.{an}的前n项和Sn=(n-1)·2n+1+4 D.的前n项和Tn= 解析　由2(n+1)an-nan+1=0,得=2×,所以是以=a1=4为首项,2为公比的等比数列,故A错误;因为=4×2n-1=2n+1,所以an=n·2n+1,显然递增,故B正确;因为Sn=1×22+2×23+…+n·2n+1,2Sn=1×23+2×24+…+n·2n+2