1章专题 数列求和-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第二册（北师大版）

专题　数列求和 　　1.倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和即是用此法推导的。 2.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和就是用此法推导的。 3.裂项相消法 把数列的各项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和。 常见的拆项公式 (1)=-; (2)=-; (3)=-。 4.分组转化法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别求和后再相加减。 5.并项求和法 一个数列的前n项和,可两两结合求解,则称之为并项求和。形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解。 类型一 分组转化法求和 　　【例1】　已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn。若a1=b1=3,a4=b2,S4-T2=12。 (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)求数列{an+bn}的前n项和。 解　(1)由a1=b1=3,a4=b2, 则S4-T2=(a1+a2+a3+a4)-(b1+b2)=a2+a3=12,设等差数列{an}的公差为d, 则a2+a3=2a1+3d=6+3d=12,所以d=2。 所以an=3+2(n-1)=2n+1。 设等比数列{bn}的公比为q, 由题意知b2=a4=9,即b2=b1q=3q=9, 所以q=3。所以bn=3n。 (2)an+bn=(2n+1)+3n, 所以{an+bn}的前n项和为(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=(3+5+…+2n+1)+(3+32+…+3n)=+=n(n+2)+。 ( 　　 ( 1 ) 分组转化求和通法 若一个数列能分解转化为几个能求和的新数列的和或差 , 可借助求和公式求得原数列的和。求解时应对数列各项的结构特点进行分析研究 , 将数列的各项合理分解转化。 ( 2 ) 分组转化求和的常见类型 ① 若 a n = b n ± c n , 且 { b n },{ c n } 为等差或等比数列 , 可采用分组求和法求 { a n } 的前 n 项和 ) 　　②若an=且数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和 【变式训练】　已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于 (　　) A.0　　　　B.100　　　C.-100　　　D.10 200 解析　由题意可得,当n为奇数时,an=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-2n-1;当n为偶数时,an=f(n)+f(n+1)=-n2+(n+1)2=2n+1。所以a1+a2+a3+…+a100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=[-2×(1+3+5+…+99)-50]+[2×(2+4+6+…+100)+50]=100。故选B。 答案　B 类型二 裂项相消法求和 　　角度1:形如an=型 　　【例2】　已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,若d,S9为函数f(x)=(x-2)(x-99)的两个零点且d<S9。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=(n∈N+),求数列{bn}的前n项和Tn。 解　(1)因为d,S9为函数f(x)=(x-2)(x-99)的两个零点且d<S9,所以d=2,S9=99, 又因为Sn=na1+d,所以9a1+×2=99,解得a1=3,所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列。 所以an=a1+(n-1)d=2n+1。 (2)因为bn===(-), 所以Tn=(-)+(-)+…+(-)+(-)=。 　　角度2:形如an=型 　　【例3】　已知数列{an}中,a1=4,an>0,前n项和为Sn,若an=+(n∈N+,n≥2)。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列的前n项和为Tn,求证:≤Tn<。 解　(1)由已知,得数列{an}中,a1=4,an>0,前n项和为Sn, 若an=+(n∈N+,n≥2), 由an=Sn-Sn-1=(-)·(+), 可得-=1, 即有=+n-1=2+n-1=n+1, 即Sn=(n+1)2, 当n≥2时,an=+=n+1+n=2n+1, 则an= (2)证明:当n≥2时,可得数列 ==-, 则前n项和为Tn=+×-+-+…+-=+×-=-, 由-在n∈N+上单调递增,可得当n=1时取得最小值为 -=,且-<,则≤Tn<。 　　角度3:形如an=(a>0,a≠1)型 　　【例4】　已知数列{an}的首项a1>0