1.4 数列在日常经济生活中的应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第二册（北师大版）

§4　数列在日常经济生活中的应用 ( 　　 等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型。例如 : 存款、贷款、购物 ( 房、车 ) 分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关。 了解数列在“零存整取”“定期自动转存”“分期付款”等经济活动中的应用 ; 能在具体的问题情境中 , 发现并建立等差数列或等比数列这两种数学模型 , 解决一些实际问题。 ) 类型一 等差数列的应用 　　【例1】　从4月1日开始,有一新款服装投入某商场销售。4月1日该款服装售出10件,第二天售出25件,第三天售出40件,以后每一天售出的服装都比前一天多15件,直到4月12日日销售量达到最大,然后每一天售出的服装都比前一天少9件。 (1)记从4月1日起该款服装日销售量为an,销售天数为n,1≤n≤30,求an关于n的函数关系式; (2)求4月份该款服装的总销售量; (3)按规律,当该商场销售此服装超过1 200件时,该款服装在社会上就开始流行;当此服装的销售量连续下降,且日销售量低于100件时,此服装在社会上不再流行。试问:该款服装在社会上流行是否超过10天?请说明理由。 解　(1)由题意知,数列a1,a2,…,a12是首项为10,公差为15的等差数列,所以an=15n-5(1≤n≤12且n∈N+)。 而a13,a14,a15,…,a30是首项为a13=a12-9=166,公差为-9的等差数列, 所以an=166+(n-13)×(-9)=-9n+283(13≤n≤30且n∈N+)。所以an= (2)4月份该款服装的总销售量为+18a13+ =+18×166+=2 721(件)。 (3)4月1日至4月12日的销售总量为==1 110(件)<1 200(件),故4月13日前该款服装在社会上还没有流行。由-9n+283<100,得n>。故从4月21日开始该款服装在社会上不再流行,故该款服装在社会上流行没有超过10天。 ( 　　 应用等差数列解决实际问题的一般思路 ( 1 ) 根据题设条件 , 建立数学模型 : a. 分析实际问题的结构特征 ; b. 找出所含元素的数量关系 ; c. 确定为何种数学模型。 ( 2 ) 利用相关的数列知识加以解决 : a. 分清首项、公差、项数等 ; b. 分清是 a n 还是 S n 的问题 ; c. 选用适当的方法求解。 ( 3 ) 把数学问题的解客观化 , 针对实际问题的约束条件合理修正 , 使其成为实际问题的解 ) 【变式训练】　某种汽车购买时费用为14.4万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元,汽车的维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,……,依等差数列逐年递增。 (1)设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n),试写出f(n)的表达式; (2)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)。 解　(1)f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+0.9n=14.4++0.9n=0.1n2+n+14.4。 (2)设该车的年平均费用为S万元, S=f(n)=(0.1n2+n+14.4) =++1≥2+1=2×1.2+1=3.4, 当且仅当n=12时,等号成立。 故该汽车使用12年报废为宜。 类型二 等比数列的应用 　　【例2】　某运输公司2015年有1万辆公交车,计划2016年投入128辆新型号公交车,以后每年投入的新型号公交车的数量均比上年增加50%。 (1)2022年应投入多少辆新型号公交车? (2)从2016年到2022年间共投入了多少辆新型号公交车? (3)从哪一年开始,该公司新型号公交车总量超过该公司公交车总量的? 解　(1)设从2016年开始,第n年投入的新型号公交车的数量为an, 由题知数列{an}是以128为首项,为公比的等比数列, 故a7=a1×6=128×6=1 458,因此2022年应投入1 458辆新型号公交车。 (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,则S7==4 118, 因此从2016年到2022年间共投入了4 118辆新型号公交车。 (3)由等比数列的前n项和公式得 Sn==256×, 由题意可得Sn>,解得Sn>5 000, 即256×>5 000, 化简得n>。 因为7=<,8=>,所以n≥8。 因此从2023年开始,该公司新型号公交车总量超过该公司公交车总量的。 ( 　　 日常生活中的增长率、利润、利息、浓度、保险等问题都与等比数列及其前 n 项和的知识有关。应用等比数列前 n 项和公式解决实际问题的步骤如下 : ① 构建数列模型 ; ② 由题设确定数列为等比数列 , 并求公比 q 或建立数列递推关系 , 化归为等比数列 , 求出公比 q ; ③ 利用等比数列前 n 项和公式进行计