1.3.1.1 等比数列的概念及其通项公式-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第二册（北师大版）

§3　等比数列 3.1　等比数列的概念及其通项公式 第1课时　等比数列的概念及其通项公式 ( 　　 我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤” : “今有出门 , 望见九堤 , 堤有九木 , 木有九枝 , 枝有九巢 , 巢有九禽 , 禽有九雏 , 雏有九毛 , 毛有九色 , 问各有几何 ? ” “出门望九堤”问题构成的数列为 9 1 , 9 2 , 9 3 , … , 9 8 , 这就是本节所要学习的等比数列。 1 . 通过生活中的实例 , 理解等比数列的概念和通项公式的意义。 2 . 体会等比数列与指数函数的关系。 ) 1.等比数列的定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比值都是同一个常数,那么称这样的数列为等比数列,称这个常数为等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0)。 2.等比数列的通项公式 若首项是a1,公比是q,则等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0)。 3.等比中项 如果在a与b之间插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,那么根据等比数列的定义,=,G2=ab,G=±。我们称G为a,b的等比中项。 微提醒 1.“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”。 2.只有同号的两个数才有等比中项,等比中项有两个,它们互为相反数这一点与等差数列不同。 微思考 1.定义中为什么“从第2项起”,从第1项起可以吗? 提示:不可以。因为数列的第1项没有前一项,因此必须“从第2项起”。 2.等比数列的通项公式an=a1qn-1与指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)有什么联系? 提示:an=a1·qn-1=·qn,当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n)。数列{an}图象上的点(n,an)都在函数f(x)的图象上。反之指数函数f(x)=ax=a·ax-1(a>0,a≠1)可以构成一个首项为a,公比为a的等比数列{an}。 类型一 等比数列的通项公式及应用 　　【例1】　在等比数列{an }中, (1)已知a3=9,a6=243,求a5。 (2)已知a1=,an=,q=,求n。 解　(1)解法一:由a3=9,a6=243, 得a1q2=9,a1q5=243。 所以q3==27,所以q=3。所以a1=1。 所以a5=a1q4=1×34=81。 解法二:因为a6=a3q3, 所以q3===27, 所以q=3。 所以a5=a3q2=9×32=81。 (2)因为a1=,q=,an=, 所以=×。 所以==。 所以n-1=3,所以n=4。 ( 　　 已知等比数列 { a n } 的某两项的值 , 求该数列的其他项或求该数列的通项公式常用方程思想 , 通过已知可以得到关于 a 1 和 q 的两个方程 , 从而解出 a 1 和 q , 再求其他项或通项公式 ) 【变式训练】　在等比数列{an}中, (1)已知an=128,a1=4,q=2,求n。 (2)已知an=625,n=4,q=5,求a1。 (3)已知a1=2,a3=8,求公比q和通项公式。 解　(1)因为an=a1·qn-1, 所以4·2n-1=128, 所以2n-1=32=25, 所以n-1=5,n=6。 (2)a1===5。 (3)a3=a1·q2,即8=2q2, 所以q2=4,所以q=±2。 当q=2时,an=a1qn-1=2×2n-1=2n, 当q=-2时,an=a1qn-1=2×(-2)n-1 =(-1)n-1×2n, 所以数列{an}的公比为2或-2, 对应的通项公式分别为an=2n或an=(-1)n-12n。 类型二 等比中项 　　【例2】　(1)(多选)已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab= (　　) A.6 B.-6 C.12 D.-12 解析　依题意知2a=1+2,b2=(-1)×(-16),解得a=,b=±4,所以ab=±6。 答案　AB (2)有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数,第一个数与第四个数的和为21,中间两个数的和为18,求这四个数。 解　设前三个数分别为,a,aq(q≠0),则第四个数为2aq-a。 由题意得解得q=2或q=。 当q=2时,a=6,这四个数为3,6,12,18; 当q=时,a=,这四个数为,,,。 ( 　　 解决已知三个数或四个数成等比数列的问题 , 灵活地设项至关重要。一般地 , 当三个数成等比数列时 , 可设为 , a , aq , 此时公比为 q ; 当四个数成等比数列时 , 可设为 , , aq , aq 3 , 此时公比为 q 2 。在解题中要特别注意 , 若四个数成公比为负数的等比数列 , 则不可如此设项