1.2.1.2 等差数列的性质及应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第二册（北师大版）

第2课时　等差数列的性质及应用 ( 　　 同学们 , 前面我们学习了等差数列的概念 , 明白了等差数列是一种特殊的函数。在学习过程中 , 我们发现了一个非常有意思的事情 , 比如说 a n = n , 这是一个正整数数列 , 如果我们把所有的偶数拿出来 , 即 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , … 容易发现这也是一个等差数列 , 同样 , 如果我们把所有的奇数拿出来 , 也能构成一个新的数列。今天我们就具体研究等差数列有哪些性质。 1 . 能利用等差数列的定义推出等差数列的性质 ; 2 . 掌握等差数列的性质 , 并可以灵活运用性质解决问题。 ) 等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列,且m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq。 ①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N+)时,am+an=2ak。 ②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1。 (2)an=am+(n-m)d(m,n∈N+)。 (3)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列。 (4)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是公差为md的等差数列。 类型一 an=am+(n-m)d的应用 　　【例1】　在等差数列{an}中,已知a2=5,a8=17,求数列的公差及通项公式。 解　设等差数列{an}的公差为d, 因为a8=a2+(8-2)d, 所以17=5+6d,解得d=2。 又因为an=a2+(n-2)d, 所以an=5+(n-2)×2=2n+1,n∈N+。 ( 　　 灵活利用等差数列的性质 , 可以减少运算量。令 m =1 , a n = a m + ( n - m ) d 即变为 a n = a 1 + ( n -1 ) d , 可以减少记忆负担 ) 【变式训练】　已知{bn}为等差数列,若b3=-2,b10=12,则b8=　　　　。  解析　解法一:因为{bn}为等差数列,所以可设其公差为d,则d===2,所以bn=b3+(n-3)d=2n-8。所以b8=2×8-8=8。 解法二:由=d,得b8=×(8-3)+b3=2×5+(-2)=8。 答案　8 类型二 其他性质的应用 　　【例2】　(1)已知等差数列{an},a5=10,a15=25,求a25的值。 解　解法一:设{an}的公差为d, 则解得 故a25=a1+24d=4+24×=40。 解法二:因为5+25=2×15, 所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15, 从而a25=2a15-a5=2×25-10=40。 解法三:因为5,15,25成等差数列, 所以a5,a15,a25也成等差数列, 因此a25-a15=a15-a5, 即a25-25=25-10,解得a25=40。 (2)已知等差数列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值。 解　由等差数列的性质, 得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9, 所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70, 于是a5=14,故a1+a9=2a5=28。 (3)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值。 解　令cn=an-bn, 因为{an},{bn}都是等差数列, 所以{cn}也是等差数列, 设其公差为d, 由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17, 则5+6d=17,解得d=2, 故a19-b19=c19=5+18×2=41。 ( 　　 解决等差数列运算问题的一般方法 : 一是灵活运用等差数列 { a n } 的性质 ; 二是利用通项公式 , 转化为等差数列的首项与公差的求解 , 属于通用方法 ; 三是兼而有之。这些方法都运用了整体代换与方程的思想 ) 【变式训练】　(1)等差数列{an}中,已知a2+a3+a10+a11=36,则a5+a8=　　　　。  解析　根据等差数列的性质可得a5+a8=a2+a11,a5+a8=a3+a10,所以a5+a8=(a2+a3+a10+a11)=×36=18。 答案　18 (2)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=　　　　。  解析　设公差为d,则d==,所以c-a=2d=。 答案　 (3)已知数列{an}为等差数列,若a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,试求数列{an}的通项公式。 解　因为a2+a5+a8=9, 由a2+a8=2a5,得3a5=9。 所以a5=3。 又a3+a7=a2+a8,a3a5a7=-21。 所以 所以a3,a7是方程x2-6x-7=0的两个根。 解方程得x=-1或x=7。