1.1.1 数列的概念-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第二册（北师大版）

第一章 数学 §1　数列的概念及其函数特性 ( 　　 观察下列图形 : 1 . 三角形数 ① 2 . 正方形数 ② 上述图形都是由小方块按照一定顺序排列表示的一列数 , 这就是本节所要学习的数列。 1 . 通过日常生活和数学中的实例 , 了解数列的概念和表示方法 ( 列表、图象、通项公式 ) 。 2 . 了解数列是一种特殊函数 , 会根据函数的单调性判断数列的增减性。 ) 1.1　数列的概念 1.数列的相关概念 (1)按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项,数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,或简记为数列{an},其中a1是数列的第1项,也叫数列的首项;an是数列的第n项,也叫数列的通项。 (2)项数有限的数列,称为有穷数列;项数无限的数列,称为无穷数列。 2.通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f(n),那么这个式子就叫作这个数列的通项公式,数列的通项公式就是相应函数的解析式。 微提醒 1.不是所有数列都能写出通项公式。 2.通项公式的形式也不是唯一的。 微思考 数列2,3,4与数列2,4,3是同一个数列吗? 提示:不是。顺序不一样。 类型一 数列的概念 　　【例1】　(多选)下列叙述不正确的是 (　　) A.数列2,4,6,8和数列4,2,6,8是同一个数列 B.同一个数在数列中可能重复出现 C.数列是按一定顺序排列的有规律的一列数 D.数列的通项公式是不唯一的 解析　根据数列的定义,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列,A错误;数列中的数可以重复出现,B正确;数列中的数的排列不一定有规律,C错误;数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,也可以写成an=(-1)n+2,还可以写成分段函数的形式,D正确。 答案　AC ( 　　 运用数列的定义判断一组元素是否为数列的一般步骤 ( 1 ) 判断这组元素是否都是数。 ( 2 ) 判断这组元素是否按照一定的顺序排列。 注意 : 按一定顺序不表示该数列具有规律性 , 即数列中的每一项可以是有规律的 , 也可以是无规律的 ) 【变式训练】　下列数列中,为无穷数列的是 (　　) A.1,,, B.-1,-2,-3,-4 C.-1,-,-,-,… D.1,,,…, 解析　A,B,D是有穷数列,只有C符合题意。 答案　C 类型二 利用数列的前几项求通项公式 　　【例2】　根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,…; (2),2,,8,,…; (3)0.8,0.88,0.888,…; (4),,-,,-,,…; (5),1,,,…。 解　(1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5)。 (2)统一分母为2,则有,,,,,…,因而有an=。 (3)将数列变形为(1-0.1),(1-0.01),(1-0.001),…,所以an=。 (4)各项的分母分别为21,22,23,24,…,易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3。因此把第1项变为-,至此原数列可化为-,,-,,…,所以an=(-1)n·。 (5)将数列统一为,,,,…,对于分子3,5,7,9,…,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,…,联想到数列1,4,9,16,…,即数列{n2},可得分母的通项公式为cn=n2+1,所以可得原数列的一个通项公式为an=。 ( 　　 此类问题虽无固定模式 , 但也有规律可循 , 主要靠观察 ( 观察规律 ) 、比较 ( 比较已知数列 ) 、归纳、转化 ( 转化为特殊数列 ) 、联想 ( 联想常见的数列 ) 等方法。具体方法为 : ① 分式中分子、分母的特征 ; ② 相邻项的变化特征 ; ③ 拆项后的特征 ; ④ 各项的符号特征和绝对值特征 ; ⑤ 化异为同。对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破 , 或寻找分子、分母之间的关系 ) 【变式训练】　写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: (1)-,,-,; (2),,,; (3)7,77,777,7 777。 解　(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数,并且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为an=,n∈N+。 (2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数,分子都是比序号大1的数的平方减1,所以它的一个通项公式为an=,n∈N+。 (3)这个数列的前4项可以变为×9,×99,×999,×9 999, 即×(10-1),×(100-