5.1.1数列的概念（一）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

5.1.1数列的概念（1） 古希腊的毕达哥拉斯学派将1，4， 9，16等数称为正方形数，因为这些数目的点可以摆成一个正方形，如下图所示：依据这个规律我们很容易就能知道，下一个正方形数应该是25，再下一个是36，等等. 仔细观察,你能发现这些数的规律吗? 1.理解数列的概念并能对数列进行判断，了解数列的分类.（重点） 2.理解数列通项公式的意义，能够利用通项公式求数列的项，能够根据数列的已知项求数列的通项公式.（重点、难点） 探究点1：数列的概念 情境 1：我国古代哲学著作《庄子》中有一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.从数学上来说，如果木棍初始长度为1，则每天之后木棍的长度分别为 ，， ，... ， ① 情境 2：2009年至2015年，我国每一年专利申请受理数（精确到万）分别为 98，122，163，205，236，238，280. ② 情境 3：有些购物网站推出了分期付款服务，标价为3000元的电脑可以享受分期服务，费率为5%，分期不同，所对应的付款总金额分别为 3000， 3045， 3090， 3180， 3360. ③ 思考：上述①、②、③中的数有什么规律？ 可否各自进行顺序交换？ 1.数列：按照一定次序排列的一列数称为数列. 2.项：数列中的每一个数都称为这个数列的项.各项依次称为这个数列的第1项（首项），第2项…… 例如数列① ...中，是首项. 3.项数：组成数列的数的个数称为数列的项数. 例如数列③ 3000，3045，3090， 3180，3360中，项数为5. 数列的概念 4.分类：一般地，项数有限的数列称为有穷数列，最后一项一般也称为这个数列的末项.项数无限的数列称为无穷数列. 上述数列①②③中，②③为有穷数列，①为无穷数列. 数列③ 3000，3045，3090， 3180，3360中，末项为3360. 判断下列数是不是数列，是的打“√”，错的打“×”. （1）数列4,7,8,12是有穷数列，首项是4 (　　) （2）1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列. (　　) （3）同一个数在数列中不可能重复出现. (　　) （4） 1,2,3,4与 {1,2,3,4 }是同一数列. (　　) √ × × × 正确. 错误；数列具有顺序性. 错误；在数列的定义中并没有规定数必须不同. 错误；前一个是数列，后一个是集合. 即时训练： 探究点2：数列的通项 思考1：可以用什么符号来表示一个数列呢？ 因为数列从首项起，每一项都与正整数对应，所以数列的一般形式可以写成 其中表示数列的第项， 为的序号，称为数列的通项.此时，一般将整个数列简记为{}. ,，，…，，… 这里，数列也可用，…表示 【提示】 表示数列的第_____项为1，表示数列的第2项为_____，表示数列的第_____项为_____， 表示数列的第_____项为_____， 所以=_______. 如果用{}表示由正整数1，2，3，…的倒数排成的数列 ，， ，... ， ④ 思考2：你能写出数列④中{}与的关系吗？ 1 3 如果用{}表示当分别等于1，2，3，… 时，的值排成的数列 -1，1，-1 ，... ， ⑤ 思考3：你能写出数列④中{}与的关系吗？ 【提示】 =，=1，=，=_______. 通项公式 一般地，如果数列的第项与之间的关系可以用 来表示，其中是关于的不含其它未知数的表达式， 则称上述关系式为这个数列的一个通项公式. 例如数列{}的第项可以用函数=表示，则通项公式为 =. 通项公式 由数列的通项公式可以写出这个数列的任意一项 例1.根据下列数列的通项公式，写出数列的第2项和第5项. （1） （2） . 【解析】(1)由通项公式可知, 将分别替换为2、5代入求值即可. ， . (2)由通项公式可知, ，