6.1.2导数及其几何意义（一）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

6.1.2导数及其几何意义（1） 从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的．例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A，B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量的方向相同. 那么，到底什么是瞬时速度呢？在本节课的学习中寻找答案吧. 1.理解瞬时速度的概念.（重点） 2.理解函数瞬时变化率（导数）的概念.（难点） 3.会求函数在某点处的瞬时变化率（导数）.(重点） 探究点1：瞬时变化率与导数 思考1：已知物体运动的位移与时间的关系为 分别求出物体在与这两段时间内的平均速度. 根据平均速度等于平均变化率可知，在内，物体的平均速度为 . 在这段时间内物体的平均速度为 . 计算物体在以2和 端点的闭区间上的平均速度，相应计算结果见下表： -0.1 -0.01 -0.001 0.001 0.01 0.1 区间 平均速度 0.5 1.95 1.995 1.9995 2.0005 2.005 2.05 思考2：观察表格中的数据，你发现平均速度有何变化趋势？ 当趋近于0时，平均速度趋近于常数2， 用数学符号记作： 时， 趋向于 思考3：物体在时的速度该如何定义. 如何用数学知识解释“当趋近于0时，平均速度趋近于常数2”这一现象？ 无限接近于0时是无限接近于2的. 因此可以认为时，是物体的速度， 这个速度通常称为瞬时速度（简称为速度）. 0.5 这一速度的实际意义是：在附近的任意一小段时间内，物体运动的位移的近似值为 函数的瞬时变化率 一般地，设函数在附近有定义，自变量在处的改变量为，当无限接近于0时，若平均变化率 ， 无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数在处的瞬时变化率. 记作：当时， 导数 函数在处的瞬时变化率为k，也称在x0处可导，并称k为在处的导数，记作. 记作：，即f ´(x0) = . 还可以说：当时，函数的平均变化率的极限 等于函数在处的瞬时变化率 如： 探究1中，时的瞬时速度实际上就是函数在处的 导数，即 . 例 1.已知函数，求在处的导数 解：当自变量在处的改变量为时，平均变化率 . 可以看出，当无限接近于0时，无限接近于，因此 求函数在点x0处的导数步骤 【总结】 一差   二比   三极限   跟踪训练： 例 2.在生产过程中，产品的总成本C一般来说是产量Q的函数，记作，称为总成本函数.为了方便起见，经济学家们一般假设Q能在某一区间内连续地取值，并将总成本函数在处的导数称为在的边际成本，用MC表示，即MC. 已知某产品的总成本函数，求边际成本MC，并说明其实际意义. 解：设Q=300时产量的改变量为 =600 所以 ， 令 ，可得， 即MC 因此，产量为300时的边际成本为600. 其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加600. 例 3 某正方形铁板在0 时，边长为10cm.已知温度为t 正方形铁板的边长为10 ，正方形的面积，求并且使其实际意义. 解：设时温度的改变量为，则 . 令 ，可得 这表示在时，铁板面积对温度的瞬时变化率为. 实际意义是，在0 时，温度的改变量很小时，铁板面积的改变量的近似值为. 1.瞬时速度； 2.瞬时变化率； 3.导数； 4.求函数在某处导数的步骤. $$