5.1.2数列中的递推（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

5.1.2数列中的递推 知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题． 例如右图是钢管堆放示意图，请问第n层的钢管数与第n-1层钢管数之间满足怎样的关系式呢？由此，你能说出第n层的钢管数吗？ 这运用到数列中哪些知识点呢？本节课我们来学习一下吧. 1.了解递推公式是给出数列的一种方法. 2.理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前n项 （重点） 3.掌握由数列的前n项求数列的通项公式的方法.（难点） 探究点1：数列的递推关系 问题1：如下是某次智力测试中的一道题，你能做出来吗？你能用数列的语言来描述有关问题吗？ 观察 1，3， 6，10，15，… 中数字出现的规律，写出第8个数. 1 3 6 10 15 +2 +3 +4 +5 +6 ? 【提示】将数列记作，那么相当于是给出了数列的前5项，要求写出数列的第8项. 问题1：用数列怎么描述这种规律？ 根据观察可知 追问1：你能得出数列的第项与第项之间的关系式吗？ 追问2：前面数列的每一项可以由关系式确定吗？ 【提示】若已知，则该数列可确定. 数列的递推关系 如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式）. 数列的递推关系是表示数列的另一种方法. 例1.分别出下列数列{}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项. （1） 1,2,4,7,11，…； （2） -1,2,5,8,11，…； （3） 1,-2,4,-8,16，…. 【解析】(1)因为 ， ， ， ， 观察相邻项之间的关系. 所以，， 即 易知 ， 【解析】(2)因为 ， 所以 即 易知 （2） -1,2,5,8,11，…； 【解析】(3)因为 ， 所以 易知 （3） 1,-2,4,-8,16，…. 跟踪训练： 1.数列{}对任意n∈N+满足，且， 则等于（　　） A.24 B .27 C.30 D.32 2.已知{}满足,,则=_____,由前5项猜想=______. 63 2n+1-1 B 例 2：意大利数学家斐波那契在13世纪初提出了一个关于兔子繁殖的问题：假设每对新生的小兔子2个月后就长大成大兔子，且从第3个月起每个月都生1对小兔子，兔子均不死亡.由1对新生小兔子开始，记每个月的兔子对数构成的数列为{Fn}，试写出F1，F2，F3，F4，F5，F6以及数列{Fn}的递推关系. 【解析】将题意转化为右图 根据题意可知，前2个月内，小兔子(小1)长成大兔子(大1)，因此 第3个月时，第1个月的那对小兔子(大1)会生1对小兔子(小2)，因此 第4个月时，第1个月的那对小兔子(大1)会再生1对小兔子(小3) ，因此 第5个月时，除了第1个月的那对小兔子会再生1对小兔子外，第3个月出生的那对小兔子(大2)也会生1对小兔子(小5) ，因此 第6个月时，第1个月的那对小兔子(大1) 、第3个月出生的小兔子(大2)以及第4个月出生的小兔子(大3) ，都会生1对小兔子(小6、小7、小8) ，因此 一般地，当时，第个月的兔子对数，应该等于第个月的兔子对数加上新生的兔子对数，又又因为第个月的兔子对到了第个月都能生1对兔子，因此有 . 这个数列通常称为斐波那契数列： 1，1，2，3，5，8，… 通项公式为 因为，恰好是黄金分割比，所以斐波那契数列也称为黄金数列. 1.在数列{}中，，，且(n∈N*），则为（　　） A.1 B.2 C.-1 D.-2 跟踪训练： 2.观察下列各式； ， ，4 ，7 ，11 ，…， 则_________. D 123 探究点2：数列的前项和 问题1：已知某电子书，今年上半年每个月的销售量构成数列， 220，530，950，1360，1820，2350 假设你是该电子书的销售人员，关于上述数列，除了每一个数字的大小和增长趋势外，你还会关心什么？ 【提示】作为销售人员，一般来说还会关心上半年电子书的总销售量，即 220+530+950+1360+1820+2350=7230 数列求和 数列的前𝒏项和 一般地，给定数列{}，称 为数列{}的前项和. 例如，对于问题1中的数列220，530，950，1360，1820，2350来说， ， ， . 问题2：已知数列{}，的前项和为 =2+1. 你能写出，，吗？ 【提示】∵==