章末总结 （七）随机变量及其分布-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

章末总结　(七)随机变量及其分布　► 对应学生用书P61 [知识体系建构·关键厘清]____________________________________________________ [高频考点聚焦·整合提升]____________________________________________________ 考点一　条件概率的应用 条件概率的求法 (1)利用定义，分别求出P(A)和P(AB)，解得. (2)借助古典概型公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝. 【例1】 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立．在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.记事件A：甲获得冠军，事件B：比赛进行三局，事件AB：甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局，由独立事件的概率乘法公式得P＝C···＝， 对于事件A，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件AB， ∴P＝＋＝， ∴P(B|A)＝＝·＝. 【跟踪训练】 1.(2022·海南四校联考)长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1 h，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1 h的学生中任意调查－名学生，则他近视的概率为(　　) A． B． C D． 解析：选B.令A1＝“任意调查一名学生，他每天玩手机超过1 h”，A2＝“任意调查一名学生，他每天玩手机不超过1 h”，B＝“任意调查一名学生，他近视”，则A1，A2对立，P(A1)＝0.2，P(A2)＝0.8，P(B|A1)＝0.5，P(B)＝0.4， 依题意，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.2×0.5＋0.8×P(B|A2)＝0.4，解得P(B|A2)＝， 所以所求概率为. 考点二　二项分布、超几何分布与统计知识的综合 　二项分布、超几何分布常与统计知识综合考查，在解决此类问题时，一是要注意判断变量服从二项分布或超几何分布的条件，二是准确运用统计知识解决问题． 【例2】 (2023·安徽六安期中)树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站开展了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与关注生态文明建设的调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组[35，45)，第4组[45，55)，第5组[55，65].由调查数据得到的频率分布直方图如图所示． (1)求这200人年龄的平均数(同－组数据用该组区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)； (2)现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽取2人的概率； (3)若从所有参与调查的人(人数很多)中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为X，求X的分布列． 解：(1)由10×(0.010＋0.015＋a＋0.030＋0.010)＝1，得a＝0.035，平均数为20×0.1＋30×0.15＋40×0.35＋50×0.3＋60×0.1＝41.5. 设中位数为x，则10×0.010＋10×0.015＋(x－35)×0.035＝0.5，∴x≈42.1. (2)由题意知，从第1，2组抽取的人数分别为2，3. 设第2组中恰好抽取2人的事件为A，则P(A)＝＝. (3)从所有参与调查的人中任意选出1人，此人关注环境治理和保护问题的概率为. 易知X的所有可能取值为0，1，2，3， ∴P(X＝0)＝C(1－)3＝， P(X＝1)＝C()1(1－)2＝， P(X＝2)＝C()2(1－)1＝， P(X＝3)＝C()3＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【跟踪训练】 2.微信是现代生活信息交流的重要工具之一，随机对使用微信的100人进行统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在2 h以上的人被定义为“微信依赖”，不超过2 h的人被定义为“非微信依赖”，已知“非微信依赖”与“微信依赖”人数比恰为3∶2. 使用微信时间/h 频数 频率 (0，0.5] 5 0.05 (0.5，1] 15 0.15 (1，1.5] 15 0.15 (1.5，2] x p (2，2.5