培优课（二） 离散型随机变量及其分布的应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

培优课(二)　离散型随机变量及其分布的应用　► 对应学生用书P58 突破点一　离散型随机变量均值的实际应用 【例1】 某销售公司在当地A，B两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价为每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足，则食品厂以每件250元补货，若销售有剩余，则食品厂以每件150元回收．现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A，B两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据： 销售件数 8 9 10 11 频数 20 40 20 20 以频率代替概率，记X表示这两家超市每日共销售该食品的件数，n表示销售公司每日共需购进该食品的件数． (1)求X的分布列； (2)以销售该食品所得利润的期望为决策依据，在n＝19与n＝20之中选一个，应选用哪个？ 解：(1)易知一家超市销售该食品的件数为8，9，10，11的概率分别为，，，， X的所有可能取值为16，17，18，19，20，21，22， P(X＝16)＝×＝， P(X＝17)＝××2＝， P(X＝18)＝×＋××2＝， P(X＝19)＝××2＋××2＝， P(X＝20)＝×＋××2＝＝， P(X＝21)＝××2＝， P(X＝22)＝×＝， ∴X的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P (2)当n＝19时，记Y1为A，B两家超市销售该食品所得的利润，则Y1的分布列为 Y1 1 450 1 600 1 750 1 900 1 950 2 000 2 050 P E(Y1)＝1 450×＋1 600×＋1 750×＋1 900×＋1 950×＋2 000×＋2 050×＝1 822. 当n＝20时，记Y2为A，B两家超市销售该食品所得的利润，则Y2的分布列为 Y2 1 400 1 550 1 700 1 850 2 000 2 050 2 100 P E(Y2)＝1 400×＋1 550×＋1 700×＋1 850×＋2 000×＋2 050×＋2 100×＝1 804. ∵E(Y1)>E(Y2)，∴应选用n＝19. [总结] 　实际问题中的均值问题 均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计． 【跟踪训练】 1.根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10 000元．为保护设备，有以下3种方案： 方案1　运走设备，搬运费为3 800元； 方案2　建保护围墙，建设费为2 000元，但围墙只能防小洪水； 方案3　不采取措施． 工地的领导该如何决策呢？ 解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1，X2，X3. 采用方案1，无论有无洪水，都损失3 800元．因此，P(X1＝3 800)＝1. 采用方案2，遇到大洪水时，总损失为2 000＋60 000＝62 000元；没有大洪水时，总损失为2 000元．因此，P(X2＝62 000)＝0.01，P(X2＝2 000)＝0.99. 采用方案3，P(X3＝60 000)＝0.01，P(X3＝10 000)＝0.25，P(X3＝0)＝0.74. 于是，E(X1)＝3 800， E(X2)＝62 000×0.01＋2 000×0.99＝2 600， E(X3)＝60 000×0.01＋10 000×0.25＋0×0.74＝3 100. 因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2. 突破点二　离散型随机变量方差的实际应用 【例2】 有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示． 甲公司 乙公司 职位 A B C D 职位 A B C D 月薪/千元 5 6 7 8 月薪/千元 4 6 8 10 获得相应 职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 获得相应职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 (1)若一人去应聘甲公司的C职位，另一人去应聘乙公司的C职位，记这两人被录用的人数和为η，求η的分布列． (2)根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司？说明理由． (3)若小王和小李分别被甲、乙两家公司录用，求小王月薪高于小李的概率． 解：(1)因为这两人被录用的人数和为η，所以随机变量η可能取值为0，1，2， 其中P(η＝0)＝C0.20×0.82＝0.64， P(