2024年中考 数学二轮专题提升讲义：与线段有关的最值问题

与线段有关的最值问题 类型一　利用两点之间线段最短求最值 模型一　一动两定型(一线两点) 模型解读 1．直线异侧线段和最小值问题 已知：两定点A，B位于直线l两侧，直线l上有一动点P. 计算：PA＋PB的最小值． 作辅助线：连接AB交l于点P. 结论：最小值为AB的长． 原理：两点之间线段最短． 2．直线同侧线段和最小值问题 已知：两定点A，B位于直线l同侧，直线l上有一动点P. 计算：PA＋PB的最小值． 作辅助线：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交l于点P. 结论：最小值为AB′的长． 原理：对称点的连线被对称轴垂直平分．2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P是BC上一动点，连接AP，DP. 一、求线段和最值 1. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的高，E是AB边上的中点，F是AD边上的动点． (1)请画出使得EF＋CF的值最小时点F的位置； 第1题图 (2)求线段EF＋CF的最小值． (1)请画出使得AP＋DP的值最小时点P的位置； 第2题图 (2)求AP＋DP的最小值． 二、求线段差最值 模型解读 1．直线同侧线段差最大值问题 已知：两定点A，B位于直线l同侧，直线l上有一动点P. 计算：|PA－PB|的最大值． 作辅助线：连接AB并延长与直线l交于点P. 结论：最大值为AB的长． 原理：两边之差小于第三边． 2．直线异侧线段差最大值问题 已知：两定点A，B位于直线l两侧，直线l上有一动点P. 计算：|PA－PB|的最大值． 作辅助线：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长，与直线l交于点P. 结论：最大值为AB′的长．3. 如图，等腰△ABC中，AB＝AC，S△ABC＝10，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，M是DE的中点，在BC上有一动点N， (1)请画出使得|AN－MN|的值最大时点N的位置； 第3题图 (2)当|AN－MN|有最大值时，求△ANC的面积． 4. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC，BD交于点O，BD＝4，E为OD的中点，F为AB上一点，且AF＝3BF，P为AC上一动点，连接PE，PF. (1)请画出使得|PF－PE|的值最大时点P的位置； 第4题图 (2)求|PF－PE|的最大值． 模型二　两动一定型(一点两线) 模型解读 已知：点P是∠AOB内部的一定点，M为OA上一动点，N为OB上一动点． 计算：△PMN周长的最小值． 作辅助线：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P″，连接P′P″交OA，OB于点M，N. 结论：最小值为P′P″的长． 5. 如图，在四边形ABCD中，∠A ＝60°，∠B＝∠D＝ 90°，AB＝AD ＝，M，N分别是AB，AD上的动点． (1)请画出使得△CMN周长的值最小时点M，N的位置； 第5题图 (2)求△CMN周长的最小值． 类型二　利用垂线段最短求最值 模型一　一动一定型 模型解读 已知：如图，直线l外一定点A，直线l上有一动点B. 计算：A，B之间距离的最小值． 作辅助线：过点A作AB⊥l于点B. 结论：此时AB最小． 原理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．6. 如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝4，D为线段BC上的一点． (1)请在图中画出当线段AD最小时点D的位置； 第6题图 (2)求AD的最小值． 模型二　两动一定型 模型解读 已知：∠AOB内部或边上一定点P，OA上一动点M，OB上一动点N. 计算：PN＋MN的最小值． 作辅助线：作定点P关于动点N所在直线的对称点P′，过点P′向动点M所在直线作垂线． 结论：PN＋MN的最小值为P′M. 注：也可作点P关于OA的对称点P″，再过点P″作OB的垂线即可． 原理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 7. 如图，在菱形ABCD中，AD＝2，∠BCD＝60°，P为对角线AC上一动点，Q为边BC上一动点． (1)请在图中画出当线段BP＋PQ最小时点P，Q的位置； 第7题图 (2)求BP＋PQ的最小值． 基础过关 1. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为(　　) A. ＋ B. ＋ C. 2＋ D. 2＋ 第1题图 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，BD是AC边上的高，点E是BC边的中点，F是BD上一点，则AF＋EF的最小值为__________． 第2题图 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为__________． 第3