6.2.3 向量的数乘运算（导学案）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量 6.2.3 向量的数乘运算 导学案 【学习目标】 1.理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养。 2.掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线，培养学生的逻辑推理的核心素养。 【学习重点】 理解并掌握两向量共线的性质和判断方法 【学习难点】 能熟练地运用向量共线的性质和判断方法处理有关向量共线问题 【课前回顾】 一、向量的加法运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 加法 求两个向量和的运算 向量加法的三角形法则： 如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则． 对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a. 向量加法的平行四边形法则： 如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B三点不共线，以OA，OB为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则． www -2- 向量加法的三角形法则：（类比位移） 记忆口诀：首尾相接首尾连 平行四边形法则：（类比力的合成） 记忆口诀：共起点，连对角 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系． 区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和（当两个向量共线时，三角形法则同样适用），而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和． 联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的； (2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半． 向量加法的运算律： 交换律：； 结合律：． 和向量的模与原向量之间的关系：一般地，我们有． 当与共线且同向时，； 当与共线且异向时，； 当与不共线时，． 二、 向量的减法 1、相反向量 (1)我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. (2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.若，互为相反向量，则，，0 (3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0. 2、向量的减法运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 减法 向量加上向量的相反向量，叫做与的差，即，求两个向量差的运算，叫做向量的减法，向量的减法实质上也是向量的加法． 向量减法的三角形法则： 如图，在平面内任取一点，作，，则向量为所求，即．即把两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量． 向量减法的平行四边形法则： 如图，在平面内任取一点，作，，分别以，为边作平行四边形，连接，则，这种作差向量的方法实质上是利用向量减法的定义． 向量减法的三角形法则：记忆口诀：首同尾连指被减 向量的加法和减法的运算问题 关于向量的加法和减法运算问题，一种解法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种解法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．具体地说，在一个用有向线段表示向量的运算式子中，将式子中的“−”改为“＋”只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可．如“”改为“”．解用几个基本向量表示某向量问题的基本技巧是，第一步：观察各向量位置；第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形：第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果． 【新课导学】 环节1：创设情境，提出问题 问题1:(1)向量是如何进行加法和减法运算?你能总结一下我们的研究方法与路径吗? (2)你认为我们还可以研究向量的什么运算? (3)如果实数与向量可以做乘法运算，你认为应该怎样去研究这种运算? 环节2：问题导向，合作探究 问题2：已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它们的长度与方向分别是怎样的？（与非零向量的关系） 追问1：在整式运算中，我们可以将x+x+x用乘法简写为3x。对于非零向量a，a+a+a我们可以怎样简写呢？ 追问2：同样的，(-a)+(-a)+(-a)可以简写成什么呢？ 追问3：已知非零向量a，作出a和-a，它们的长度与方向分别是怎样的？ 追问4：已知非零向量a，λa的长度与方向分别是怎样的？ 向量的数乘运算 1.向量的数乘运算 (1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa. (2)规定：①|λa|＝|λ||a|， ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. 追问:你对零向量、相反向量