第10章末总结 （十）三角恒等变换-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2册同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

章末总结　(十)三角恒等变换　　　　　► 对应学生用书P49 　高频考点聚焦 考点一　求值问题 三角函数求值的主要三种类型： (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式． (2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角，要注意角的范围． (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围． 例1.已知tan α＝4，cos (α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cos β的值． [思维点拨]　由tan α求sin α，由cos (α＋β)求sin (α＋β)，再利用cos β＝cos [(α＋β)－α]展开求解． 解：因为α，β均为锐角， 所以0＜α＋β＜π，又cos (α＋β)＝－， 所以＜α＋β＜π，且sin (α＋β)＝. 因为tan α＝4， 所以sin α＝，cos α＝， 所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝. 【练一练】 1．已知sin sin ＝，α∈，求的值． 解：∵sinsin ＝， ∴sin cos ＝， sin ＝，即cos 2α＝. 又α∈，∴2α∈(π，2π)， ∴sin 2α＝－＝－＝－. ∴＝ ＝＝－. 考点二　化简与证明 三角函数式的化简与证明要遵循“三看”原则 (1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式． (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”． (3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 例2.求证：＝. [思维点拨]　先对原式进行等价变形，同时注意应用“二倍角”的正弦、余弦、正切公式． 证明：证明原不等式成立，即证明1＋sin4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)成立． ∵tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ) ＝(2cos22θ＋2sin2θcos 2θ) ＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ) ＝2sin 2θcos 2θ＋2sin22θ ＝sin4θ＋1－cos 4θ， ∴＝. 【练一练】 2．化简：. 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝2. 考点三　三角恒等变换的综合应用 1．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． 2．把形如y＝a sin x＋b cos x化为y＝sin (x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性． 例3.设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈. (1)若|a|＝|b|，求x的值； (2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值． [思维点拨]　分别表示两向量的模，利用相等求解x的值；利用数量积运算及辅助角公式化为一个角的一种函数求解． 解：(1)由|a|2＝(sin x)2＋sin2x＝4sin2x， |b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 又x∈，从而sinx＝，所以x＝. (2)f(x)＝a·b＝sin x cos x＋sin2x＝sin2x－cos 2x＋＝sin ＋， 当x＝∈时，sin 取最大值1， 所以f(x)的最大值为. 【练一练】 3．已知函数f(x)＝cos2－sincos －. (1)求函数f(x)的最小正周期和值域； (2)若f(α)＝，求sin 2α的值． 解：(1)f(x)＝cos2－sincos －＝(1＋cos x)－sin x－＝cos ， 所以f(x)的最小正周期为2π，值域为. (2)由(1)知f(α)＝cos ＝， 所以cos ＝. 所以sin 2α＝－cos ＝－cos [2(α＋)]＝1－2cos2＝1－＝. 考点四　转化与化归思想在三角变换中的应用 在三角函数的化简、求值中，常常对条件和结论进行合理的变换，通过转化沟通已知与未知的关系，角的转化、函数名称的转化、常数代换、幂的升降变换、结构变化等技巧在解题中经常用到，应熟练掌握． 例4.已知tanα＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． [思维点拨]　先求tan (2α－β)的值，再结合2α－β的范围求2α－β的值． 解：∵tan α＝＞0，∴α∈，2α∈(0，π)， ∴tan 2α＝＝＝＞0，∴2α∈， 又∵tanβ＝－＜0，β∈(0，π)，∴β∈， ∴tan (2α－β)＝＝＝1， 又∵2α∈，β∈， ∴2α－β∈(－π，0)， ∴2α－β＝－π