10.3 几个三角恒等式-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2册同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

10．3　几个三角恒等式　　　　　► 对应学生用书P46 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、积化和差、和差化积公式 1．积化和差公式： sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]， cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]， cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]， sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]. 2．和差化积公式： sin θ＋sin φ＝2sin ·cos ， sin θ－sin φ＝2cos ·sin ， cos θ＋cos φ＝2cos ·cos ， cos θ－cos φ＝－2sin ·sin . 记一记：辅助角公式： a sin x＋b cos x＝sin (x＋θ).(其中tan θ＝) 二、半角公式 (1)sin2＝⇒sin ＝± ， (2)cos2＝⇒cos ＝± ， (3)tan2＝⇒tan ＝± ， 称之为半角公式，符号由所在象限决定． 记一记：(1)理解半角的含义：角是角α的半角，角α是角2α的半角，角2α是角4α的半角． (2)确定半角的正弦、余弦、正切值正、负号的方法： ①若给出的角已确定其终边所在象限，则可根据下表确定符号． 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ tan α ＋ － ＋ － ②若给出角α的范围(即某一区间)，可先求出的范围，然后再根据的范围确定符号． ③若给出的角的象限不确定，则需分类讨论． 【基点小试】 1．已知180°＜α＜360°，则cos 的值等于(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：选C.因为cos2＝， 180°＜α＜360°，所以90°＜＜180°， 所以cos ＝－ . 2．(多选)下列各值中，函数y＝2sin x＋2cos x可能取得的是(　　 ) A．3 B．3.5　 C．4 D．4.5 解析：选ABC.因为原式＝4(sin x＋cos x)＝4sin ≤4，所以函数y＝2sin x＋2cos x不能取得的是4.5. 3．若cos α＝，且α∈(0，π)，则sin ＝________． 答案： 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　半角公式的应用 例1.设π<θ<2π，cos ＝a，求： (1)sin θ的值； (2)cos θ的值； (3)sin2的值． 解：(1)∵π<θ<2π，∴<<π. 又∵cos＝a， ∴sin ＝ ＝. ∴sinθ＝2sin cos ＝2a. (2)cos θ＝2cos2－1＝2a2－1. (3)sin2＝＝. [母题探究]　若本例条件不变，求tan 的值． 解：法一　由例题解题过程可知， sin ＝， 故tan ＝＝. 法二　由cos ＝a，知cos θ＝2cos2－1＝2a2－1， 由例题解题过程，可知sin＝， 所以sin θ＝2sin cos ＝2a. 故tan ＝＝＝. [总结] 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． 【练一练】 1．已知cos 2θ＝－，<θ<π，求tan 的值． 解：因为cos 2θ＝－，<θ<π，依半角公式得sin θ＝ ＝ ＝， cos θ＝－ ＝－ ＝－， 所以tan ＝＝＝. 题型二　三角函数式的化简 例2.化简下列各式． (1)； (2)(0<α<π). 解：(1)原式＝＝＝＝tan 2α. (2)原式＝ ＝＝＝. ∵0＜α＜π，∴0＜＜，∴cos＞0， ∴原式＝＝cos α. [总结] 　化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等． 【练一练】 2．化简：··＝________． 解析：原式＝··＝·＝·＝＝tan . 答案：tan 题型三　三角恒等变换的综合应用 角度1　辅助角公式的应用 例3.已知函数f(x)＝4cos ωx·sin (ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)讨论f(x)在区间