10.2 二倍角的三角函数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2册同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

10．2　二倍角的三角函数 　► 对应学生用书P43 [课程标准]　能运用二倍角公式进行简单的恒等变换． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 三角函数 公式 简记 正弦 sin 2α＝2sin__αcos__α S2α 余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C2α 正切 tan2α＝ T2α 记一记：(1)对于“二倍角”应该广义地理解，如：8α是4α的二倍角，3α是α的二倍角，α是的二倍角，是的二倍角，…… (2)对于各个公式，要明确各公式成立的条件，其中sin2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α对任意角α都成立，而tan2α的公式则具有局限性． (3)公式变换： ①1＋cos α＝2cos2，1－cosα＝2sin2. ②cos2α＝，sin2α＝，这两个公式也称为降幂公式． 【基点小试】 1．下列各式中，值为的是(　　) A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215° C．2sin215°－1 D．sin215°＋cos215° 解析：选B.对于A，2sin 15°cos 15° ＝sin 30°＝；对于B，cos215°－sin215°＝cos 30°＝；对于C，2sin215°－1＝－cos30°＝－；对于D，sin215°＋cos215°＝1.故选B. 2.＝(　　) A． B． C．1 D．－1 解析：选A.原式＝＝＝. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　二倍角公式的正用、逆用 【练一练】 1．cos4－sin4等于(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选D.原式＝(cos2－sin2)(cos2＋sin2)＝cos＝. 2．求值：＝________． 解析：＝＝tan 60° ＝. 答案： 3．计算：cos 20°cos 40°cos 80° ＝__________． 解析：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 答案： 【悟一悟】 (1)由二倍角的三角函数左右恒等的结构特点，灵活地对公式进行正用和逆用，是计算或化简三角函数式的关键． (2)明确二倍角的正弦、余弦以及正切公式中的常数“2”，次数“2”，掌握三角函数的名称差异和运算类型． 题型二　条件求值 例1.已知cos ＝，≤α<，求cos 的值． 解：∵≤α<，∴≤α＋<. ∵cos >0，∴<α＋<. ∴sin ＝－＝－＝－. ∴cos2α＝sin (2α＋)＝2sin (α＋)cos (α＋)＝2××＝－， sin 2α＝－cos ＝1－2cos2＝1－2×＝. ∴cos＝cos 2α－sin 2α＝×＝－. [母题探究]　(1)(变结论)若本例条件不变，求的值． 解：原式＝＝(cos α－sin α)＝2cos ＝. (2)(变条件)若本例条件变为：若x∈，sin ＝，求sin 的值． 解：由sin ＝， 得sin x cos －cos x sin ＝，两边平方， 得sin2x＋－sin2x＝， ∴·＋－sin 2x＝， 即sin 2x·＋cos 2x·＝， ∴sin ＝. [总结] 　解决条件求值问题的方法 (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． (2)当遇到±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通． cos 2x＝sin ＝2sin (－x)cos . 类似的变换还有： cos 2x＝sin ＝2sin (＋x)cos (＋x)， sin 2x＝cos ＝2cos2－1， sin2x＝－cos ＝1－2cos2(＋x)等． 【练一练】 1．已知sin＝，则cos (－2α)＝________. 解析：cos ＝cos ＝2cos2－1＝2sin2－1＝－. 答案：－ 题型三　化简与证明 例2.化简：(1)－； (2). 解：(1)原式＝ ＝ ＝tan2θ. (2)原式＝ ＝ ＝ ＝. [总结] 　探究三角函数式化简、证明的常用技巧 (1)特殊角的三角函数与特殊值的互化； (2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分； (3)对于二次根式，注意倍角公式的逆用； (4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等； (5)利用“1”的恒等变形，如tan 45° ＝1，sin2α＋cos2α＝1等． 【练一练】 2．化简：－tan θtan 2θ. 解：－tan θtan 2θ ＝－ ＝ ＝＝＝1. 3．求证：sin3αsin3α＋cos3αcos3α＝cos32α. 证明：左边＝sin2αsinαsin 3α＋cos2αcos