10.1.3 两角和与差的正切-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2册同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

10．1．3　两角和与差的正切 　► 对应学生用书P40 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的 正切公式 T(α＋β) tan (α＋β)＝ α，β，α＋β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tanα·tanβ ≠±1 两角差的 正切公式 T(α－β) tan (α－β)＝ 记一记：两角和与差的正切公式的变形 (1)T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)， tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝tan (α＋β)， tan αtan β＝1－. (2)T(α－β)的变形： tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β)， tan α－tan β－tan αtan βtan (α－β)＝tan (α－β)， tan αtan β＝－1. 【基点小试】 1.＝(　　) A．tan 42° B．tan 3° C．1 D．tan 24° 解析：选A.＝ ＝tan (60°－18°)＝tan 42°. 2．tan 15°＝________；tan 75°＝________． 解析：tan 15°＝tan (45°－30°)＝＝＝＝2－. tan 75°＝tan (45°＋30°)＝＝＝2＋. 答案：2－　2＋ 3．设α，β为锐角，且tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的根，则tan (α＋β)＝________． 解析：tan α＋tan β＝，tan α·tan β＝， tan (α＋β)＝＝1. 答案：1 4.＝________． 解析：原式＝＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝. 答案： 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　条件求值问题 例1.已知tan (α＋β)＝5，tan (α－β)＝3，求tan 2α，tan 2β，tan . [思维点拨]　2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，tan 可以用tan 2α表示出来． 解：tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)] ＝＝ ＝－， tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)] ＝＝＝， tan ＝＝＝. [总结] 　求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值．倘若盲目套用公式，可能带来运算的繁杂． 【练一练】 1．(1)已知α∈，sin α＝，求tan (α＋)的值； (2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算tan (α＋β)的大小． 解：(1)因为sin α＝，且α∈， 所以cos α＝－， 所以tan α＝＝＝－， 故tan ＝＝＝. (2)由题图可知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，所以tan (α＋β)＝＝＝1. 题型二　给值求角 例2.已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，求α＋β. [思维点拨]　利用根与系数的关系求tan α＋tan β及tan αtan β的值，进而求出tan (α＋β)的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值． 解：因为tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－3＜0，tan αtan β＝4＞0， 所以tan α＜0，tan β＜0. 因为α，β∈， 所以α，β∈，所以－π＜α＋β＜0. 因为tan (α＋β)＝＝＝， 所以α＋β＝－. [总结] 　1.给值求角的一般步骤 (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围； (3)根据角的范围写出所求的角． 2．选取函数时，应遵照以下原则 (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． 【练一练】 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，. 求：(1)tan (α＋β)的值；(2)α＋2β的大小． 解：由已知得cos α＝，cos β＝，又α，β是锐角， 则sin α＝＝， sinβ＝＝. 所以tanα＝＝7，tan β＝＝. (1)tan (α＋β)＝＝＝－3. (2)tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β] ＝＝ ＝－1， 又α，β是锐角，则0＜α＋2β＜， 所以α＋2β＝. 题型三　T(α±β)公式的变形及应用 例3.已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan B tan C＝，且tan A＋tan B＝tan A tan B－1，试判断△ABC的