10.1.2 两角和与差的正弦-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2册同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

10．1．2　两角和与差的正弦 　► 对应学生用书P38 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 1．两角和与差的正弦公式 公式 简记 适用范围 sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β S(α＋β) α，β都是任意角 sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β S(α－β) 2.辅助角公式 a sin x＋b cos x＝(sin x＋cos x)， 令cos φ＝，sin φ＝，则有a sin x＋b cos x＝(cos φsin x＋sin φcos x)＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，φ为辅助角． 想一想：1.如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？ 2．如何推导两角差的正弦呢？ 提示：1.sin (α＋β)＝cos ＝cos ＝cos cos β＋sin sin β ＝sin αcos β＋cos αsin β. 2．可以由sin (α－β)＝cos ＝cos [(－α)＋β]得到，也可以由sin (α－β)＝sin [α＋(－β)]得到． 【基点小试】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)sin 150°＝sin 120°＋sin 30°.(　　 ) (2)sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝.(　　 ) (3)α，β∈R时，sin (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(　　 ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.(　　 ) 解析：(1)公式错误． (2)原式＝sin (60°＋30°)＝sin 90°＝1. (3)sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. (4)原式＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24° ＝sin (54°－24°)＝sin 30°. 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．sin －cos ＝________． 解析：原式＝2(sin －cos ) ＝2 ＝2sin ＝－2sin ＝－. 答案：－ 3.＝________． 解析：原式＝ ＝＝sin 30°＝. 答案： 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　两角和与差的正弦公式的简单应用 例1.求下列各式的值： (1)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°； (2). [思维点拨]　(1)从角和“形”入手，转化成两角和(差)的正弦求值． (2)注意角的差异与变换：55°＝(60°－5°)，85°＝90°－5°. 解：(1)原式＝sin 163°sin (90°＋133°)＋sin (90°＋163°)sin (180°＋133°) ＝sin 163°cos 133°－cos 163°sin 133° ＝sin (163°－133°)＝sin 30°＝. (2)原式＝＝ ＝＝1. [总结] 　1.对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径： (1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正负相消的项，消去求值； (3)化为分子、分母形式，进行约分再求值． 2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换． 提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求． 【练一练】 1．求下列各式的值： (1)sin 165°； (2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°； (3)sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°). 解：(1)sin 165°＝sin (180°－15°)＝sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝. (2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin (14°＋16°)＝sin 30°＝. (3)sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°) ＝sin (θ＋15°＋60°)＋cos (θ＋15°＋30°)－cos (θ＋15°) ＝sin (θ＋15°)cos 60°＋cos (θ＋15°)sin 60°＋cos (θ＋15°)cos 30°－sin (θ＋15°)sin 30°－cos (θ＋15°) ＝sin (θ＋15°)＋cos (θ＋15°)＋cos (θ＋15°)－sin (θ＋15°)－cos (θ＋15°