10.1.1 两角和与差的余弦--【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2册同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

第10章 三角恒等变换 [课程标准]　1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义．　2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．　 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换． 10．1　两角和与差的三角函数　 ► 对应学生用书P35 10．1．1　两角和与差的余弦 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 公式 简记 运用范围 cos (α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β C(α－β) α，β都是任意角 cos (α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β C(α＋β) 记一记：公式巧记为：公式左边是差角或和角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式或差式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式． 【基点小试】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)α，β∈R时，cos (α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(　　 ) (2)cos 105°＝cos 45°cos 60°－sin 45°sin 60°.(　　 ) (3)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.(　　 ) (4)cos cos ＋sin sin (－α)＝cos 2α.(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．cos 75°＝________；cos 15°＝________． 解析：cos 75°＝cos (30°＋45°)＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝； cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 30°sin 45°＝. 答案：　 3．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝________． 解析：cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos (45°－15°)＝cos 30°＝. 答案： 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　两角和与差的余弦公式的简单应用 例1.求下列各式的值： (1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°； (2)； (3)cos 15°＋sin 15°； (4)cos (35°－α)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)sin (25°＋α). 解：(1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos (70°－40°)＝cos 30°＝. (2)原式＝＝＝cos 15°＝cos (60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝. (3)∵cos 60°＝，sin 60°＝， ∴cos 15°＋sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos (60°－15°)＝cos 45°＝. (4)原式＝cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)sin (25°＋α)＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos (－60°)＝cos 60°＝. [总结] 　1.两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体． 2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值． 提醒：要重视诱导公式在角的差异、函数名称的差异中的转化作用． 【练一练】 1．求下列各式的值． (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； (2)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°； (3). 解：(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos (75°－15°)＝cos 60°＝. (2)原式＝cos 24°cos 36°－sin 24°sin 36°＝cos (24°＋36°)＝cos 60°＝. (3)原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 题型二　已知三角函数值求角 例2.已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，求α＋β的值． [思维点拨]　先求出cos α，sin β，再利用两角和的余弦公式求出cos (α＋β)，最后由α＋β的范围确定α＋β的值． 解：因为α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝， 所以cos α＝＝＝，sinβ＝＝＝， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝. 由0<α<，0<β<，得0<α＋β<π. 因为cos (α＋β)>0，所以α＋β为锐角， 所以α＋β＝. [总结] 　已知三角函数值求角，一般分三步：