9.3.3 向量平行的坐标表示-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2册同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

9．3．3　向量平行的坐标表示 ► 对应学生用书 [课程标准]　能用坐标表示平面向量共线的条件． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 1．两向量共线的充要条件 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0． 2．中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段P1P2的中点P的坐标是. 记一记：(1)两向量共线的充要条件可变形为x1y2＝x2y1，巧记为“外项积等于内项积”或“交叉相乘积相等”． (2)两个向量共线的坐标表示还可以写成＝(x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例． 【基点小试】 1．已知平面向量a＝(x，1)，b＝(1，2)，若a∥b，则实数x＝(　　 ) A．－2 B．5 C． D．－5 解析：选C.∵a＝(x，1)，b＝(1，2)，a∥b，∴2x－1×1＝0，解得x＝. 2．判断下列各组中的向量是否平行： (1)a＝(1，3)，b＝(2，4)； (2)a＝(1，2)，b＝(，1). 解：法一　(1)∵1×4－3×2＝－2≠0， ∴a与b不平行． (2)∵1×1－2×＝0，∴a∥b. 法二　(1)∵≠，∴a与b不平行． (2)∵＝，∴a∥b. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　向量平行(共线)的判定与应用 角度1　判断(证明)向量平行(共线) 　　　　　　　　　　　　　　　 例1.(2023·安徽宣城高一检测)已知A，B，C，且＝，＝. (1)求点E，F的坐标； (2)求证：∥. 解：(1)设点E， ∵＝，即＝(2，2)＝， ∴解得故E. 设点F， ∵＝，即＝＝， ∴解得故F. (2)证明：＝，＝，故＝，∴∥. [总结] 　向量共线的判定方法 角度2　利用向量平行(共线)求参数 例2.(1)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若a∥c，则k＝(　　 ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选B.因为c＝a＋kb＝＋＝，而a∥c， 所以3×－1×＝0，解得k＝0. (2)(2022·福建三明高一检测)已知A(1，－3)，B，C(9，λ)，且A，B，C三点共线，则λ＝(　　 ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选C.由A(1，－3)，B，C(9，λ)，可得＝，＝(8，λ＋3)， 由A，B，C三点共线，则∥，则7(λ＋3)－8×＝0，解得λ＝1. [总结] 　利用向量平行的条件求参数值的思路 (1)利用共线向量定理b＝λa(a≠0)列方程组求解； (2)利用向量平行的坐标表达式直接求解． 【练一练】 1．(2023·江苏南京一中高一检测)已知a＝(－1，x)与b＝(－x，2)共线，且方向相同，则实数x＝(　　 ) A．1 B． C． D． 解析：选C.设a＝λb，则＝，所以有 解得或 又a与b方向相同，则λ>0，所以 2．已知点A(－1，－1), B(1，3), C(1，5), D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？ 解：因点A(－1，－1), B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，则＝(2，4), ＝(1，2)， 显然有2×2－1×4＝0，于是得∥. 因＝(2，6), 而＝(2，4)，即有2×4－2×6≠0，则与不平行， 即点A，B，C不共线，因此AB与CD不重合， 所以直线AB与CD平行． 题型二　共线向量与线段分点坐标的计算 例3.(多选)(2023·江苏昆山高一检测)在平面直角坐标系xOy内，O为坐标原点，已知＝(－1，4)，＝(8，－5)，若P是线段AB的三等分点，则点P的坐标是(　　) A．(2，1) B．(3，0) C．(4，－1) D．(5，－2) 解析：选AD.因为＝(－1，4)，＝(8，－5)，所以＝－＝， 设P，则＝， 又P是线段AB的三等分点，所以＝或＝， 即或 解得或 即点P的坐标是(2，1)或(5，－2). [总结] 　若P1P＝λPP2，则P点位置与λ的取值范围之间的对应关系如下(P0为线段P1P2的中点)： P点位置 λ的范围 P1P2的延长线上 λ<－1 外分点 P2P1的延长线上 －1<λ<0 与P1重合 λ＝0 P1P0之间 0<λ<1 内分点 与P0重合 λ＝1 P0P2之间 λ>0 与P2重合 λ不存在 【练一练】 3．在平面直角坐标系内，已知A(1，5)，B(2，2)，C(6，2)，D为BC中点，则中线AD上靠近D的三等分点的坐标是________． 解析：根据题意可得，所求点为△ABC的重心，设其坐标为(x，y)， 故x＝＝3，y＝＝3，故所求