专题18.1 勾股定理【十大题型】-2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列（沪科版）

专题18.1 勾股定理【十大题型】 【沪科版】 【题型1 利用勾股定理求线段长】 1 【题型2 利用勾股定理求面积】 2 【题型3 利用勾股定理解决折叠问题】 3 【题型4 利用勾股定理求平面坐标系中两点之间的距离】 5 【题型5 利用勾股定理证明线段的平方关系】 6 【题型6 勾股定理验证方法的应用】 7 【题型7 勾股树问题】 9 【题型8 勾股定理在格点中的应用】 11 【题型9 直角三角形中的分类讨论思想】 12 【题型10 利用勾股定理解决动点问题】 13 【知识点 勾股定理】 在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角 边长分别是a，b，斜边长为c，那么+=． 【题型1 利用勾股定理求线段长】 【例1】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，小聪用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“鸟”，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中E，F两点之间的距离为（　　）    A． B． C． D． 【变式1-1】（2023春·广东东莞·八年级校考期中）如图，在中，，求和的长．    【变式1-2】（2023春·安徽安庆·八年级统考期中）如图，在中，长比长大1，，D是上一点，，． (1)求证：； (2)求长． 【变式1-3】（2023春·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）如图，过P作且，得，再过点作且，连接，得；又过点作且，得；依此法继续作下去，得__．    【题型2 利用勾股定理求面积】 【例2】（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一．如图，以的各边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作，左下不重叠部分的面积记作，若，则的值是（　　） A．1 B． C．2 D． 【变式2-1】（2023春·北京昌平·八年级校考阶段练习）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，灰色部分面积记为，黑色部分面积记为，白色部分面积记为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8，则△ACH的面积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．9 【变式2-3】（2023春·八年级单元测试）在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别 为 a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次为 S1，S2，S3，S4，则 S1＋S2＋S3＋S4＝( ) A．a＋b B．b＋c C．a＋c D．a＋b＋c 【题型3 利用勾股定理解决折叠问题】 【例3】（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD的长为（      ） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 【变式3-1】（2023春·八年级课时练习）已知中，，，，为斜边上的中点，是直角边上的一点，连接，将沿折叠至，交于点，若的面积是面积的一半，则为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023春·福建厦门·八年级校考阶段练习）如图的实线部分是由 经过两次折叠得到的，首先将 沿 折叠，使点 落在斜边上的点 处，再沿 折叠，使点 落在 的延长线上的点 处．若图中 ，，，则 的长为______． 【变式3-3】（2023春·全国·八年级阶段练习）有一块直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm，BC = 8cm． ①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，则CD =_________cm． ②如图2，若将直角∠C沿MN折叠，点C与AB中点H重合，点M、N分别在AC、BC上，则、与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【题型4 利用勾股定理求平面坐标系中两点之间的距离】 【例4】（2023春·全国·八年级专题练习）先阅读一段文字，再回答下列问题，已知在平面内两点坐标，，，，其两点间距离公式为，同时，当两点所在直线在坐标轴上或平行于轴或垂直于轴时，两点间距离公式可化简为或． (1)已知，，则、两点间的距离为　 　； (2)已知，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为5，点的纵坐标为，则，两点间的距离为　 　； (3)已知，在平行于轴的直线上，点的横坐标为5.且，两点间的距离为3，则点的横坐标为