重难点2-4 利用导数研究不等式与极值点偏移（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

重难点2-4 利用导数研究不等式与极值点偏移8大题型 函数与导数一直是高考中的热点与难点，利用导数研究不等式问题在近几年高考中出现的频率较高。求解此类问题关键是要找到与待证不等式紧密联系的函数，然后利用导数工具来研究函数的单调性、极值、最值（值域），从而达到目的。考查难度较大。 函数的极值点偏移问题，是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，考查考生的化归与转化思想，逻辑思维能力、运算求解能力。 【题型1 单变量不等式的证明】 满分技巧 不等式证明的常用思路 1、移项构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； 2、最值法：若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题． 在证明过程中，等价转化是关键，此处恒成立．从而f(x)>g(x)， 但此处与取到最值的条件不是同一个“x的值”． 3、适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； 4、构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数 【例1】（2024·山东青岛·高三校考期末）已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，证明：． 【变式1-1】（2023·安徽合肥·高三校考期末）已知函数. （1）当时，求的单调区间 （2）讨论的单调性； （3）当时，证明. 【变式1-2】（2024·陕西榆林·高三一模）设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求； （2）证明：. 【变式1-3】（2024·内蒙古·高三校考期末）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：在上. 【题型2 双变量不等式的证明】 满分技巧 双变量不等式的处理策略： 含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式， 具体转化方法主要有三种:整体代换，分离变量，选取主元. 【例2】（2024·全国·模拟预测）已知函数． （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）已知，求证：． 【变式2-1】（2024·北京西城·高三统考期末）已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当且时，判断与的大小，并说明理由. 【变式2-2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，其中. （1）当时，求的极值； （2）当，时，证明：. 【变式2-3】（2024·全国·高三专题练习）知函数． （1）求函数的单调区间和最小值； （2）当时，求证：（其中为自然对数的底数）； （3）若，求证：． 【题型3 对称化构造解决极值点偏移】 满分技巧 1、和型（或）问题的基本步骤： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系， 得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； 2、积型问题的基本步骤： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论. 【例3】（2024·云南昭通·统考模拟预测）已知函数. （1）讨论的单调区间； （2）已知在上单调递增，且，求证：. 【变式3-1】（2024·山西晋城·统考一模）已知函数． （1）若恒成立，求的取值范围； （2）若有两个零点，证明：． 【变式3-2】（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知函数. （1）若有唯一极值，求的取值范围； （2）当时，若，，求证：. 【变式3-3】（2024·江苏扬州·高三统考期末）已知函数的最小值为. （1）求实数的值； （2）若有两个不同的实数根，求证：. 【题型4 比值代换法解决极值点偏移】 满分技巧 比值换元的目的也是消元、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的。设法用比值（一般用表示）表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求问题转化为关于的函数问题求解。 【例4】（2023·全国·高三统考月考）已知是函数的导函数． （1）讨论方程的实数解个数； （2）设为函数的两个零点且，证明：． 【变式4-1】（2023·河南驻马店·高三统考期末）已知函数有两个零点. （1）求的取值范围； （2）设，是的两个零点，，证明：. 【变式4-2】（2024·福建厦门·统考一模）已知函数有两个极值点，． （1）求实数的取值范围； （2）证明：． 【变式4-3】（2022·全国·模拟预测）设函数. （1）若，求函数的最值； （2）若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 【题型5 导数与数列不等式证明】 满分技巧 1、证明此类问题时长根据已知的函数不等式，用关于正整数的不等式替代函数不等式中的