北京师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期开学测试数学试题

第 1 页 共 4 页 北京师范大学附属实验中学 2023－2024 学年度第二学期 高三数学 开学摸底测试 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分） 1．已知集合 {1, 2, 3}, { | (2 ) 0}A B x x x= =  −Z ≥ ，则 A B =Z A. {1,2} B. {0,1,2,3} C. Z D. { 0}x x Z 2．在 5( 2 )x− 的展开式中， 3x 的系数为 A. 10 B. 10− C. 20 D. 20− 3．已知 9log 3a = ， 1.21( ) 2 b = ， 1 21.2c = ，则 A. a b c  B. b a c  C. c a b  D. c b a  4．在复平面内，复数 z 满足方程 1 2iz z+ =  ，则 z 所对应的向量的坐标为 A. 2 1 ( , ) 5 5 B. 1 2 ( , ) 5 5 − − C. 1 2 ( , ) 3 3 D. 2 1 ( , ) 3 3 − − 5．平面向量 a 与 b 的夹角是 π 3 ，且 1=a ， 2=b ，如果 AB = + ba ， 3AC = −a b ，点 D 是线段 BC的中点，那么 AD = A. 3 B. 2 3 C. 3 D. 6 6．在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图 1 的方式进行拼接，然后他又 将三角板 ABC 折起，使得二面角 A BC D− − 为直二面角，得图 2 所示四面体 ABCD ．小明对四面体 ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断，其 中不正确的是 A. CD ⊥平面 ABC B. AB⊥平面 ACD C. 平面 ABD⊥平面 ACD D. 平面 ABD⊥平面 BCD 图 1 图 2 第 2 页 共 4 页 7．已知圆 2 2 2 4x y a+ = + 经过点 ( 2, )a b− ，且点 ( , )P a b 到点 (1,0)Q 的距离为 3，则 A. 4a = − B. 2a = C. 2 2b = D. 4b = 8．已知函数 ( ) | 2 | | 2 |f x a x x= − + + ，则“ 1a = − ”是“ ( )f x 为奇函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9．等差数列{ }na 的前 n项和为 nS ．已知 3 1a = − ， 5 5a = ．记 n n n S b a = ( 1, 2, )n = ，则数 列{ }nb 的 A. 最小项为 3b B. 最大项为 3b C. 最小项为 4b D. 最大项为 4b 10．函数 ( )f x 及其导数 ( )f x 的定义域均为R ，记 ( ) ( )g x f x= ，若 (1 )f x− 和 ( 2)g x + 都 是偶函数，则 A. ( )f x 是奇函数 B. ( )f x 是偶函数 C. ( )g x 是奇函数 D. ( )g x 是偶函数 二、填空题（本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分） 11．已知双曲线 2 2 1x my− = 的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为___． 12．函数 2( ) 3sin cos sinf x x x x= − 的单调递增区间为___． 13．已知函数 ( ) 2f x x = + ，其中常数 0  ，若 π ( ) 6 f − 与 π ( ) 2 f 所对应的角的终边关于 x轴对称，则的最小值为___． 14．设定义在[ 1,3]− 函数 21 , [ 1, ), ( ) 1, [ , 3]. x x a f x ax x a  −  − =  −  当 0a = 时， ( )f x 的值域为___；若 ( )f x 的最大值为 1，则实数 a 的所有取值组成的集合为___． 15．已知曲线 2 2 21 :W x y m+ = ， 4 2 4 2 :W x y m+ = ，其中 0m  ． ① 当 1m = 时，曲线 1W 与 2W 有 4个公共点； ② 当 2 2 m = 时，第一象限内，曲线 1W 位于曲线 2W 的下方； ③ 存在实数 (0,1)m ，使得曲线 1W 围成的区域面积恰等于 2W 围成的区域面积； ④ 曲线 1W 围成的区域内（不含边界）的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的个数 不多于曲线 2W 围成