专题21 图形的相似与位似（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（广东专用）

专题21 图形的相似与位似核心知识点精讲 1． 理解掌握比例线段的相关概念； 2． 理解掌握比例的性质、黄金分割点等定义； 3． 理解掌握平行线分线段成比例定理； 4． 理解掌握什么是相似多边形、位似图形。 考点1 比例线段 1.比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n 在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。 2.比例的性质 （1）基本性质 ①a：b=c：dad=bc ②a：b=b：c （2）更比性质（交换比例的内项或外项） （交换内项） （交换外项） （同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）： （4）合比性质： （5）等比性质： 3.黄金分割 把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB 考点2 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论： （1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 （2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 5.相似多边形 （1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数） （2）相似多边形的性质 ①相似多边形的对应角相等，对应边成比例 ②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比 ③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比 ④相似多边形面积的比等于相似比的平方 6.位似图形 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。 性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。 由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。 【题型1：比例的性质与比例线段】 【典例1】（2023•霞山区校级一模）已知，则　　． 1．（2023•南海区校级模拟）已知2a＝3b（ab≠0），则下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2022•南海区一模）四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，则a的长为 　 　． 3．（2022•龙岗区一模）四条线段a、b、c、d成比例，其中a＝1cm、b＝3cm、c＝3cm，则线段d＝　 　cm． 4．（2024•深圳模拟）已知5a＝2b，则a：b＝　 　． 【题型2：黄金分割】 【典例2】（2023•福田区校级二模）黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），如图AC长度为15cm，则AB的长度约为 　9.27　cm．（黄金分割率为0.618） 1．（2023•禅城区二模）神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是137.5°．我们知道圆盘一周为360°，360°﹣137.5°＝222.5°，137.5°÷222.5°≈0.618．这体现了（　　） A．轴对称 B．旋转 C．平移 D．黄金分割 2．（2023•兴宁市二模）古希腊以来，人们以满足黄金分割比的事物为美．长发及腰，佳人倾城一笑亦是一种美．现有一名13岁的少女，从今年算起，未来x（0≤x≤4）年其身高近似满足函数y＝2x+160（单位：厘米）．若某一年该少女头发末端到脚底的长度与其身高之比恰好呈黄金分割比，已知该少女的头发长度为64厘米，则下列说法正确的是（　　）注：黄金分割比为0.618 A．对于函数y＝2x+160而言，y为自变量，x为因变量，160为常量 B．该少女此时身高约为160厘米（四舍五入取整） C．该少女年龄为17岁（四舍五入取整） D．若某一年该少女身高为170厘米，则该少女年龄