5.3.2 事件之间的关系与运算-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

5.3.2　事件之间的关系与运算 [课标解读]1.了解事件的包含与相等.2.了解事件的并、交的含义.3.理解事件的互斥与对立． 知识点一　事件的包含与相等 1．包含关系 一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)，记作A⊆B(或B⊇A)．用图形表示为： 2．相等关系 如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作A＝B. (1)包含关系 ①不可能事件记作∅，任何事件都包含不可能事件，即C⊇∅(C为任一事件). 学生用书第53页 ②事件A也包含于事件A，即A⊆A. ③事件B包含事件A，其含义就是事件A发生，事件B一定发生，而事件B发生，事件A不一定发生． ④A⊆B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件． (2)相等关系 ①两个相等事件总是同时发生或同时不发生． ②所谓事件A＝B，就是说事件A，B是同一事件． ③在验证两个事件是否相等时，常用到相等事件的定义． ④A＝B⇔A⊆B且B⊆A.A＝B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充要条件．　　 知识点二　和事件与积事件 1．事件的和(并) 给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)，记作A＋B(或A∪B)． 事件A与B的和可以用如图中的阴影部分表示： 2．事件的积(交) 给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)，记作AB(或A∩B)． 事件A与事件B的积可以用如图中的阴影部分表示： (1)和事件 ①按照定义可知，事件A＋B发生时，当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生． ②不难看出，A⊆(A＋B)且B⊆(A＋B)，因此P(A)≤P(A＋B)且P(B)≤P(A＋B)，而且，直观上可知P(A＋B)与P(A)＋P(B)的大小关系为P(A＋B)≤P(A)＋P(B)． (2)积事件 ①按照定义可知，事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B都发生． ②P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)．　　 知识点三　事件的互斥与对立 给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记作AB＝∅(或A∩B＝∅)． 互斥事件的概率加法公式：若A与B互斥(即A∩B＝∅)，则：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．事件A的对立事件记为：.则：P(A)＋P()＝1. (1)事件A与事件B互斥表示事件A与事件B不可能同时发生，即A与B两个事件同时发生的概率为0. (2)用集合的观点来看，是A在Ω中的补集，如上图所示．如果B＝，则称A与B相互对立．　　 1．(多选)抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　) A．A⊆B B．A＝B C．A＋B表示向上的点数是1或2或3 D．AB表示向上的点数是2 CD　[由题意可得A＝{1,2}，B＝{2,3}，则AB＝{2}，A＋B＝{1,2,3}，所以A＋B表示向上的点数是1或2或3，故选CD.] 学生用书第54页 2.(2021·山东省菏泽市单元测试)设A，B是随机事件，下列关系式正确的是(　　) A．A＋B＝A B．AB⊇A C．A＋AB＝A D．B⊆A C　[A，利用集合并集思想分析，两个事件的和事件可能等于其中的事件A，也可能包含事件A.故选项A错误； B，AB表示A，B的积事件，利用集合交集思想分析，AB不一定包含A事件．故选项B错误； C，利用集合的交集和并集的思想可知，A＋AB＝A表示的等式成立．故选项C正确； D，利用补集的思想和交集的概念可知，B表示的事件A不发生的同时事件B发生，故选项D错误． 所以选C.] 3．2021年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B(　　) A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件 C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件，也不是对立事件 A　[事件A与事件B不能同时发生，是互斥事件， 不是对立事件，比如他还可以选择化学和政治， 故选A.] 4．(2021·辽宁省大连市期末考试)从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是(　　) A．恰好有一个白球与都是红球 B．至多有一个白球与都是红球 C．至多有一个白球与都是白球 D．至多有一个白球与至多一个红球 A　[选项A：从装有两个红球和两个白