(讲义)5.3.2 事件之间的关系与运算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

5.3.2　事件之间的关系与运算 1．了解事件间的包含关系和相等关系． 2．理解互斥事件与对立事件的概念与关系．(难点、易混点) 3．会用互斥事件与对立事件的概率公式求概率．(重点) 4．了解并事件与交事件的概念，会进行事件的运算． 1．通过互斥事件与对立事件关系的判定，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过互斥与对立事件的概率计算，培养数据分析与数学运算的核心素养． 在掷骰子试验中，定义如下事件：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数不大于3}，D3＝{出现的点数不大于5}，E＝{出现的点数小于7}，F＝{出现的点数大于6}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}． 问题：在上述事件中，(1)事件C1与事件C2的并事件是什么？ (2)事件D2与G及事件C2间有什么关系？ (3)事件C1与事件C2间有什么关系？ (4)事件G与事件H间有什么关系？ [提示]　(1)C1∪C2＝{出现1点或2点}． (2)D2∩G＝C2． (3)为互斥事件． (4)为对立事件． 知识点1　事件的关系与运算 1．事件的关系 定义 表示法 图示 包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，事件B一定发生，这时称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A) A⊆B 或(B⊇A) 相等关系 如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等” A＝B⇔ A⊆B且B⊆A 事件互斥 给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥 AB＝∅ 或(A∩B＝∅) 事件对立 给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件 2．事件的和与积 定义 表示法 图示 事件的和(并) 给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并) A＋B或 (A∪B) 事件的积(交) 给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交) AB或 (A∩B) 3．事件的混合运算 因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算． (A)＋(B)表示的是A与B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生． 同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(A)＋(B)可简写为A＋B． 1．同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有(　　) A．A⊆B　　B．A⊇B　　C．A＝B　　D．A<B A　[由事件的包含关系知A⊆B．] 2．给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则(　　) A．A⊆B B．A⊇B C．A与B互斥 D．A与B互为对立事件 C　[由互斥事件的定义知，A，B互斥．] 知识点2　概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：[0，1]． (2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0． (3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． [拓展]　一般地，若A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． (4)若A与为对立事件，则P()＝1－P(A)． P(A∪)＝1，P(A∩)＝0． 3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)互斥事件一定是对立事件． (　　) (2)事件A与B的并事件的概率一定大于事件A的概率． (　　) (3)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B一定是对立事件． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 4．若A与B是互斥事件，则有(　　) A．P(A)＋P(B)＜1　 B．P(A)＋P(B)＞1 C．P(A)＋P(B)＝1 D．P(A)＋P(B)≤1 D　[A、B可能对立，因此P(A)＋P(B)≤1．] 类型1　互斥事件与对立事件的判定 【例1】　某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件： (1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E． [思路探究]　→→→ [解]　(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件． (2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能