4.2.2 对数运算法则-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

4．2.2　对数运算法则 知识点一　对数运算法则 1．对数的运算法则 如果a>0，a≠1，M>0，N>0，a∈R，则 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN. 即两个正因数积的对数等于同一底数的这两个正因数的对数的和．这个性质可推广到若干个正因数的积： loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Ni>0，i＝1，2，3，…，k)． 即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和． (2)logaMα＝αlogaM(α∈R)． 即正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数． 特别地，loga＝logaM(M>0，n>1，n∈N＋)． (3)loga＝logaM－logaN. 即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数． (1)熟练掌握对数运算法则的逆向应用．逆向应用对数运算法则，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简． (2)对于上面的每一个运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立． (3)要牢记对数的运算法则，一般地： ①loga(M±N)≠logaM±logaN； ②loga(MN)≠logaM·logaN； ③loga≠logaM÷logaN； ④logaMα≠(logaM)α.　　 2．对数运算法则与指数运算法则的联系 式子 ab＝N logaN＝b 运算 法则 am·an＝am＋n loga(MN)＝logaM＋logaN ＝am－n loga＝logaM－logaN (am)n＝amn logaMn＝nlogaM 学生用书第14页 知识点二　换底公式 1．换底公式 一般地，我们有logab＝，其中a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1，这一结果通常被称为换底公式． (1)换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M>0，N>0，M＝N，则logaM＝logaN. (2)换底公式的意义在于把对数式的底数改变，把不同底数问题转化为同底数问题，从而进行化简、计算或证明． (3)换底公式在实际应用中究竟把底数换成什么，要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数．　　 2．几个常用推论 (1)推论一：logac·logca＝1，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数． (2)推论二：logab·logbc·logca＝1. 即logab·logbc·logca＝1. (3)推论三：logambn＝logab，此公式表示底数变为原来的m次方，真数变为原来的n次方，所得的对数值等于原来对数值的倍． 1．下列等式成立的是(　　) A．log2(8－4)＝log28－log24 B.＝log2 C．log28＝3log22 D．log2(8＋4)＝log28＋log24 C　[由对数的运算性质易知C正确．] 2．对于a>0，且a≠1，下列说法中正确的是(　　) A．若M＝N，则logaM＝logaN B．若logaM＝logaN，则M＝N C．若logaM2＝logaN2，则M＝N D．若M＝N，则logaM2＝logaN2 B　[对于A，当M＝N≤0时，logaM，logaN都没有意义，故不成立； 对于B，logaM＝logaN，则必有M>0，N>0，M＝N；对于C，当M，N互为相反数且不为0时，也有logaM2＝logaN2，但此时M≠N； 对于D，当M＝N＝0时，logaM2，logaN2都没有意义，故不成立，综上可知，只有B正确．] 3.的值为(　　) A. B．2 C. D． B　[原式＝log39＝2.] 4．化简log612－2log6的结果为(　　) A．6 B．12 C．log6 D． C　[log612－2log6＝(1＋log62)－log62＝(1－log62)＝log63＝log6.] 5．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________． 解析：　由104＝10 000知lg 10 000＝4，10－3＝0.001得lg 0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10. 答案：　4　－3 题型一　对数的简单运算 化简下列各式： (1)4lg 2＋3 lg 5－lg； (2)； (3)2log32－log3＋log38－； (4)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)； (5)lg(＋)． [思路点拨]　(1)注意对数运算法则的正用和逆用． (2)综合运用对数运算法则时应注意掌握变形技巧，如化为最简形式或统一底数等． 解析：　(1)原式＝lg＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4. (2)原式＝＝＝. (3)原式＝2log32－(5log32－2)＋3log32－5log53＝2log32