(讲义)4.2.2 对数运算法则-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

4.2.2　对数运算法则 1．理解对数的运算性质．(重点) 2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点) 3．会运用对数的运算性质进行一些简单的化简与证明．(易错点、重点) 1．通过对数运算法则的学习，培养数学运算核心素养． 2．通过对数换底公式的学习，提升逻辑推理素养． 大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算法则中，得出相应对数的运算法则吗？同学们能否大胆猜想一下对数的运算法则呢？ 问题：观察下列各式，你能从中猜想出什么结论吗？ log2(2×4)＝log22＋log24＝3； log3(3×9)＝log33＋log39＝3； log2(4×8)＝log24＋log28＝5． [提示]　如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么loga(M·N)＝logaM＋logaN成立． 知识点1　对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Ni＞0，i＝1,2,…,k)． (2)logaMα＝αlogaM． (3)loga＝logaM－logaN． 对于上面的每一条运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差． (　　) (2)loga(xy)＝logax·logay． (　　) (3)loga(－2)3＝3loga(－2)． (　　) [提示]　(1)√．根据对数的运算性质可知(1)正确； (2)×．根据对数的运算性质可知loga(xy)＝logax＋logay； (3)×．公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数． [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．计算log84＋log82等于(　　) A．log86　　 B．8　　　　C．6　　　　D．1 D　[log84＋log82＝log8(4×2)＝log88＝1．] 知识点2　换底公式 logab＝(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1)． 特别地：logab·logba＝1(a>0且a≠1，b>0且b≠1)． 如何准确地应用换底公式？ [提示]　(1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择． (2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题． 如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个底数的对数，再根据运算法则进行化简与求值． (3)要注意换底公式的两个重要推论的应用． ①logab＝；②logbn＝logab，其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R． 3．log35·log56·log69＝________． 2　[原式＝··＝＝＝2．] 类型1　利用对数的运算法则求值 【例1】　(对接教材)(1)计算8＋2lg 2－lg 的值为________． (2)计算：log3＋lg 4＋lg 25＋＝________．　 (3)计算： ①lg； ②log2(47×25)； ③(lg 2)2＋lg 20×lg 5． (1)　(2)　[(1)原式＝(23)＋lg 4－(lg 1－lg 25)＝＋lg(4×25)＝＋2＝． (2)原式＝＋lg 102＋1＝＋2＋1＝．] (3)[解]　①lg＝lg 102＝lg 10＝． ②log2(47×25)＝log247＋log225 ＝log222×7＋log225＝2×7＋5＝19． ③(lg 2)2＋lg 20×lg 5＝(lg 2)2＋(1＋lg 2)(1－lg 2)＝(lg 2)2＋1－(lg 2)2＝1． 对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则： 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． [跟进训练] 计算下列各式的值： (1)2log23－log2＋log27－7； (2)log3＋lg 25＋lg 4－log2(log216)． [解]　(1)2log23－log2＋log27－7 ＝log29－log2＋log27－2 ＝log2－2＝3－2＝1． (2)原式＝log33＋lg(25×4)－2＝＋2－2＝． 类型2　对数运算法则的综合应用 【例2】　(1)已知log312＝a，试用a表示log324； (2)设a＝lg 2，b＝lg 3，试用a，b表示lg． [思路探究]