4.2.1 对数运算-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

4．2　对数与对数函数 [课标解读]1.理解对数的概念.2.了解常用对数与自然对数.3.理解对数的运算法则.4.理解对数的换底公式． 4．2.1　对数运算 知识点一　对数的概念 1．对数的定义 在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作 b＝logaN， 其中a称为对数的底数，N称为对数的真数． 为什么规定a>0且a≠1呢？ (1)若a<0，则当N为某些值时，b的值不存在．如：b＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0，则 ①当N≠0时，b的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在． ②当N＝0时，b可以是除零以外的任意实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1，则 ①当N≠1时，b的值不存在．如log13不存在. 学生用书第11页 ②当N＝1时，b可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a>0且a≠1.　　 2．对数logaN(a>0且a≠1)的性质 (1)零和负数没有对数，即N>0． (2)1的对数为0，即loga1＝0． (3)底数的对数等于1，即logaa＝1． (4)如果把ab＝N中的b写成logaN，则有alogaN＝N(对数恒等式)．如2log2＝，10log102＝2. (5)logaab＝b.因为ab＝N⇔logaN＝b，所以logaab＝b. (1)(4)的作用是把任意一个正实数转化为以a为底数的指数形式． (2)(5)的作用是把任意一个实数转化为以a为底数的对数形式． (3)为什么零和负数没有对数？因为当a>0且a≠1时，b＝logaN的充要条件是ab＝N，而当a>0且a≠1时，ab恒大于0，即N>0，所以零和负数没有对数．　　 3．指数式与对数式的互化 指数式ab＝N，根式＝a和对数式logaN＝b(N>0，a>0且a≠1)是同一种数量关系的三种不同表达形式．具体对应如下： 表达形式 a b N 对应的运算 ab＝N 底数 指数 幂 乘方，由a，b求N ＝a 方根 根指数 被开方数 开方，由N，b求a logaN＝b 底数 对数 真数 对数，由N，a求b 由此可知： (1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算； (2)弄清对数式与指数式的互换规则是掌握对数意义及其运算的关键．　　 知识点二　常用对数与自然对数 以10为底的对数称为常用对数，即log10N是常用对数．对了简便起见，常用对数的表示中，通常把底10略去不写，并把“log”写成“lg”，即把log10N简写为lg N. 后续如果没有指出对数的底，则默认为指的都是常用对数．例如，“100的对数是2”，就是指“100的常用对数是2”． 在科学技术中，常常还使用以无理数e＝2.718 28…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，自然对数logeN通常简写为ln N. 1．对于下列说法： (1)零和负数没有对数； (2)任何一个指数式都可以化成对数式； (3)以10为底的对数叫做自然对数； (4)以e为底的对数叫做常用对数． 其中错误说法的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　[只有符合a>0，且a≠1，N>0，才有ax＝N⇔x＝logaN，故(2)错误．由定义可知(3)(4)均错误．只有(1)正确．] 2．将＝9写成对数式，正确的是(　　) A．log9＝－2 B．log9＝－2 C．log(－2)＝9 D．log9(－2)＝ B　[根据对数的定义，得log9＝－2，故选B.] 3．若loga2b＝c则(　　) A．a2b＝c B．a2c＝b C．bc＝2a D．c2a＝b B　[loga2b＝c⇔(a2)c＝b⇔a2c＝b.] 学生用书第12页 4.方程＝的解是(　　) A. B． C. D．9 A　[由＝，得＝2－2，所以log3x＝－2，所以x＝3－2＝.] 5．下列各式： ①lg(lg 10)＝0； ②lg(ln e)＝0； ③若10＝lg x，则x＝10； ④由log25x＝，得x＝±5. 其中，正确的是________．(把正确的序号都填上) 解析：　因为lg 10＝1，所以lg(lg 10)＝lg 1＝0，①正确； 因为ln e＝1，所以lg(ln e)＝lg 1＝0，②正确； 若10＝lg x，则x＝1010，③错误； 由log25x＝，得x＝25＝5，④错误． 答案：　①② 题型一　指数式与对数式互化 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)54＝625；(2)2－6＝；(3)＝5.73； (4)log16＝－4；(5)lg 0.01＝－2；(6)ln 10＝2.303