19.4 线段的垂直平分线 教学设计 2023-2024学年沪教版八年级数学上册

线段的垂直平分线 教学设计 单元目标 1 体验几何研究从直观经验，操作实验到演绎推理的演进过程，认识几何直觉和演绎推理的作用；知道基本的逻辑术语，理解命题，定理，证明的意义；懂得推理过程中的因果关联，知道证明的步骤。 2 理解逆命题与逆定理；掌握角的平分线，线段的垂直平分线的有关性质；知道轨迹的意义，知道圆，角的平分线，线段的垂直平分线这三条基本轨迹。 章节/课时目标 1初步掌握线段垂直平分线性质定理及其逆定理，体会分类讨论思想. 2 能运用线段垂直平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题. 章节/课时重难点 重点: 线段垂直平分线性质定理及其逆定理 难点: 线段垂直平分线性质定理及其逆定理的综合运用 教学过程（问题链：围绕目标展开） 过程/问题一 1、 创设情境，导入新课 问：上海市普陀区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一所学校，使得它到三个小区的距离相等． 学校应建于何处？ （意图：从生活中的实际问题入手，让学生意识到日常生活中许多问题都可以用数学思想来解决，体现了数学即生活。） 过程/问题二 二．学习新知 1 观察猜想 问：我们已经知道了线段是轴对称图形. 线段的对称轴是什么？ 在直线MN上任取一点P，联结PA,PB, 线段PA和PB相等吗？ 问：通过观察，你发现了什么？ 我们根据线段的轴对称性通过直观演示验证一下。 （意图：通过几何画板的动态操作，归纳得到“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等”的结论，获得感性认识，为下面的证明提供思考） 问：由此，我们是否可以用文字语言描述出你发现的规律. 如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么分别联结这点与线段两个端点所得的两条线段相等 （意图:在这环节中引导学生通过观察，大胆猜测，培养了学生直观猜测能力，再通过多媒体的操作演示，激发学生学习及探究的兴趣，充分调动了学生的积极性，也营造了宽松和谐的课堂气氛） 2、推理论证 这个命题是否是真命题呢？还需要证明. 问：如何证明一个命题是真命题？ 问：结合上图，此命题的已知、求证是什么？ 已知：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足是点C，点P在直线MN上. 求证：PA=PB. ( C P B A N M ) 分析： 问1：如何证明PA=PB？ 问2：如果点P在线段AB上，这种证明方法还行吗？怎么办？ (意图：引导学生利用全等三角形的性质和判定，证明由观察电脑总结出的命题是真命题；然后概括出线段垂直平分线的性质定理.在命题的证明中，要注意点P是否在线段AB上，需要分类讨论.) 证明：∵直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足是点C（已知） ∴MN⊥AB,CA=CB（线段垂直平分线的定义） ∴∠1＝∠2＝90°（垂直的定义） （1）若点P不在线段AB上 在△PAC与△PBC中 ∴△PAC≌△PBC(S.A.S) ∴PA=PB（全等三角形对应边相等） （2）若点P在线段AB上，则点P与点C重合，即PA=PB （意图：让学生去尝试证明，找出问题解决的办法，鼓励学生把他们证明过程表达出来，而表达的过程是学生展示自我的机会，教师充分利用这一机会对学生进行点评，鼓励学生积极上进，让学生感受发现的快乐，感受尝试后收获的快乐。教师则有针对性地引导讲解，规范学生证明过程。） 3、线段垂直平分线的性质定理 这个真命题可简单说成： 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 这就是线段垂直平分线的性质定理. 符号语言表示: ∵点P在线段AB的垂直平分线上 ∴PA=PB（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等） （意图：定理的概括可由师生共同完成，从“线段相等”到“距离相等”，进一步抽象的要求，增强了定理的应用性.强调线段垂直平分线的性质定理的语言互换，为熟练运用奠定基础） 课堂练习： P105第1题 4、逆定理 问： 我们已经知道了任何一个命题都有逆命题， 线段垂直平分线的性质定理的逆命题是什么？ （意图：获得定理的基础上，引导学生研究这个定理的逆命题，这是几何研究的一种方法，并让学生增强运用这一方法主动获取知识的意识.线段的垂直平分线的性质定理没有用“如果…那么…”的形式表述，教学时让学生说出或写出它的逆命题，可能会有一定的难度，教师可帮助学生分析它的题设和结论，再写出其逆命题.） 问：这个逆命题是否也是真命题，下面我们怎样来证明它？ 已知：如图，QA=QB. 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上. 分析： 要证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先使它落在AB的垂线上（过点Q作AB的垂线），再证明这条垂线又平分AB, 那么点Q就在AB的垂直平分线上. 问：若点Q在线段AB上，怎么办？ 证明: (1)如果点Q在线段AB上,那么点Q就是线段