2.4.2 向量向量及运算的坐标表示-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

4．2　平面向量及运算的坐标表示　► 对应学生用书P48 [课程标准]　1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．　2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差、数乘以及向量共线的坐标运算法则． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a(通常称为位置向量).由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj.因此，a＝xi＋yj.我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y). 记一记：(1)向量的坐标与点的坐标的区别： ①当且仅当向量的始点为坐标原点时，向量坐标与终点坐标相同． ②(x，y)在平面直角坐标系中有双重含义，既可以表示一个点，也可以表示一个向量．为了区分，我们通常说点(x，y)，向量(x，y). ③向量坐标前带“＝”，而点的坐标前不带． (2)在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点P的坐标；反过来，终点P的坐标(x，y)也就是向量的坐标． 二、平面向量运算的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，平面向量的坐标运算法则如表所示： 运算 自然语言 坐标表示 加法 两个向量a，b的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量a，b的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘 一实数λ与向量a的数乘坐标等于这个实数与向量相应的坐标的乘积 λa＝(λx1，λy1)，λ∈R (2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，则a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0． (3)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)． 记一记：(1)两向量共线的充要条件可变形为x1y2＝x2y1，巧记为“外项积等于内项积”或“交叉相乘积相等”． (2)两个向量共线的坐标表示还可以写成＝(x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例． 【基点小试】 1．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，则2a－3b＝(　　) A．(－8，3) B．(－8，－3) C．(8，3) D．(8，－3) 解析：选C.由题意得2a－3b＝(2，6)－(－6，3)＝(8，3). 2．(2023·湖南邵东高一检测)已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b＝(　　 ) A．(1，－2) B．(1，2) C．(5，6) D．(2，0) 解析：选A.因为向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)， 所以b＝(3，2)－2a＝(3，2)－2(1，2)＝(1，－2). 3．设＝(3，1)，＝(－5，－1)，则＝(　　) A．(－8，－2) B．(8，2) C．(－8，2) D．(－2，2) 解析：选A.因为＝(3，1)，＝(－5，－1)，所以＝－＝(－5，－1)－(3，1)＝(－8，－2). 4．已知a＝(－2，3)，b＝(1，5)，则3a＋b等于(　　) A．(－5，14) B．(5，14) C．(7，4) D．(5，9) 解析：选A.3a＋b＝3(－2，3)＋(1，5)＝(－5，14). 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　平面向量的坐标表示 例1.(1)已知向量a在射线y＝x(x≥0)上，且起点为坐标原点O，又|a|＝，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，则向量a的坐标为(　　) A．(1，1) B．(－1，－1) C．(，) D．(－，－) 解析：选A.由题意，a＝(cos 45° )i＋(sin 45° )j＝i＋j＝(1，1). (2)如图所示，在平面直角坐标系中，i，j分别为与两个坐标轴同向的单位向量，，a是平面内的向量，且A点坐标为(x，y)，则下列说法正确的是______．(填序号) ①向量a可以表示为a＝mi＋nj； ②只有当a的起点在原点时a＝(x，y)； ③若a＝，则终点A的坐标就是向量a的坐标． 解析：由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数m，n使得a＝mi＋nj，所以①正确；当a＝时，均有a＝(x，y)，所以②错误，③