专题3.1 函数性质的综合（真题体验+九个重难热点+模拟练）-2024年新高考数学二轮复习重难点提升精讲（新高考专用）

专题3.1 函数性质的综合 1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 5．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023年北京高考数学真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 7．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 9．（2023年天津高考数学真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 题型一 单调性与最值结合 【解题方法】①若或，则函数是单调增函数； 若或，则函数是单调减函数； ②单调性法是求函数最值的通法．求函数最值时，首先考虑讨论函数的单调性，除非某些特殊函数可以用基本不等式法，配方法，导数法等。 【例1】已知的值域为，则的最小值为（    ） A．0 B．2 C． D．1 【例2】已知函数是上的单调函数，且，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】函数 在 上的最大值和最小值的乘积为 【变式1-2】已知，设，则函数的值域为 ． 【变式1-3】已知函数． (1)若的最大值为0，求实数a的值； (2)设在区间上的最大值为，求的表达式； (3)令，若在区间上的最小值为1，求正实数a的取值范围． 题型二 对称性的应用 【解题方法】若或，则函数关于直线对称； 若或，则函数关于点对称； 若或，则函数关于点对称 【例3】已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【例4】（多选）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【变式2-1】已知函数对任意都有，则 . 【变式2-2】已知是定义域为的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则 ． 【变式2-3】已知定义在上的函数满足：为偶函数；当时，．写出的一个单调递增区间为 ． 题型三 单调性与奇偶性（对称性）结合 【解题方法】解不等式常涉及到奇偶性单调性，注意配图求解更直观 【例5】已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意两个实数，不等式恒成立，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例6】已知函数在上为奇函数，则不等式的解集满足（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】为定义在上的偶函数，对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选）已知函数，且满足，则实数的取值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3-3】函数关于直线对称，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 题型四 双对称构造周期 【解题方法】①若既关于直线对称,又关于直线对称,则是的一个周期； ②若既关于点对称,又关于点对称,则是的一个周期； ③若既关于直线对称,又关于点对称,则是的一个周期； 【例7】已知函数f（x）的图象关于原点对称，满足．若，则等于（　　） A．－50 B．50 C． D．2 【例8】已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，，则（    ） A．关于直线对称 B．关于点中心对称 C． D． 【变式4-1】（多选）若函数满足：①，恒有，②，恒有，③时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为4 C．的单调递减区间为 D．若曲线与的图象有6个不同的交点，则实数的取值范围为 【变式4-2】（多选）已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，．下列说法正确的是（    ） A．3是函数的一个周期 B．函数的图象关于直线对称 C．函数是偶函数 D． 【变式4-3】（多选）已知函数的定义域为为奇函数，则（    ） A．函数的图象关于对称 B．函数是周期函数 C． D． 题型五 似周期函数 【解题方法】