人教版八年级数学下分层优化堂堂清专题利用勾股定理解题的常见题型

人教版八年级数学下分层优化堂堂清 第17章 勾股定理 专题 利用勾股定理解题的常见题型 题型一、利用勾股定理数轴上表示无理数 例1-1如图，点B，D在数轴上，OB=3，OD=BC=1，∠OBC=90°，以D为圆心，DC长为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的实数是(　　) A. B. +1 C. −1 D. 针对练习1 1、如图，数轴上点A、B分别对应1、2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是 (　　) A. B. C. D. 2、如图，数轴上点A表示的数为 (　　) A. -1 B. - C. D. 1- 3、如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，若点A的坐标为(−，0)，点P的纵坐标为−1，则点P的坐标为________. 解题策略： 一般地，利用勾股定理在数轴上画出（n为大于1的整数）的线段的关键是找到两个正整数a、b，使a2+b2=n，此时只要作出直角边长为a、b的直角三角形，斜边的长即为。 题型二、利用勾股定理求网格中线段的长 例2-1、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为 (　　) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 2、如图，每个小正方形的边长都为1. (1)求四边形ABCD的周长. (2)求点A到BC的距离. 3、如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，在所给网格中按下列要求画出图形： (1)(I)已知点A在格点(即小正方形的顶点)上，画一条线段AB，长度为 ，且点B在格点上；(II)以上题中所画线段AB为一边，另外两条边长分别是3，2 ，画一个三角形ABC，使点C在格点上(只需画出符合条件的一个三角形)； (2)所画的三角形ABC的AB边上高线长.(直接写出答案) 4、 如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求： （1）边 AC、 AB、 BC的长； （2）求△ ABC的面积； （3）点 C到 AB边的距离． 解题策略 正方形网格中的每个角都是直角，在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两格点之间的长度问题，一般情况下都是应用勾股定理来进行计算，解题关键是确定每一条边所在的直角三角形。 题型三、利用勾股定理求线段的长 例3-1、如图，已知钓鱼竿AC的长为10 m，露在水面上的鱼线BC的长为6 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'的长为8 m，则BB'的长为 (　　) A. 1 m B. 2 m C. 3 m D. 4 m 针对练习3 1、如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO=4 m，若梯子的顶端沿墙下滑1 m，这时梯子的底端也右滑1 m，则梯子AB的长度为________m. 2、如图，在锐角三角形ABC中，AB=13，AC=15，点D是BC边上一点，BD=5，AD=12，求BC的长. 4、小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD(如图所示)的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度.小东经测量得知AB=AD=5 m，∠A=60°，BC=12 m，∠ABC=150°.小明说根据小东所得的数据可以求出CD的长度.你同意小明的说法吗?若同意，请求出CD的长度；若不同意，请说明理由. 解题策略： （1） 求直角三角形斜边上的高常用勾股定理和面积公式联合求解，步骤：先用勾股定理求出直角三角形三边的长，再用两种方法表示出这个直角三角形的面积，然后利用面积相等列出方程，从而求出所求线段的长。 （2） 在非直角三角形中求线段的长，可以先根据题意作垂线，构造直角三角形，应用勾股定理求解。 题型四、利用勾股定理证明线段相等 例4-1如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD2+CD2=2AB2,求证AB=BC C A B D C A B D 针对练习4 1.如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时的形状，请说明理由． 解题策略： 将有关线段构建在直角三角形中，利用勾股定理分别表示出相关线段，利用等量代换证明线段的相等。 题型五、利用勾股定理证明线段之间的平方关系 例5-1已知：AB=AC，CD=BC，求证：． 针对练习5 1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于点P.求证：BP2=AP